Construa os gráficos das funções a seguir.
f(x)=argcosh(x)

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função , que é a função inversa do cosseno hiperbólico. O conteúdo envolve entender domínio, imagem, monotonicidade, concavidade e assíntotas da função arco-cosh.

Passo 2

A definição de satisfaz se e somente se f(x)=argcosh(x). Sabendo que y=argcosh(x) varia de 1 a x=cosh(y) quando cosh(y) vai de 0 a +infty, deduzimos:
  • Domínio: y.
  • Imagem: +infty.
    No ponto x>=1 temos .

Passo 3

Cálculo da derivada para ver monotonicidade e concavidade:
A função é diferenciável para x>1 e
f'(x)=1raizx^2-1
Como f'(x)>0 para todo x>1, f é estritamente crescente. O valor de f'(x) tende a +infty quando xto1^+, o que corresponde a uma inclinação vertical no início do gráfico.

Passo 4

Para a concavidade, calcula-se a segunda derivada:
f''(x)=-x(x^2-1)^3/2
Como f''(x)<0 para x>1, o gráfico é côncavo para baixo.

Passo 5

Comportamento assintótico para xto+infty:
Usando a identidade , quando argcosh(x)=lnl(x+raizx^2-1r) é muito grande, x, logo
raizx^2-1approx x
Isto indica uma assíntota que se aproxima de f(x)approxln(2x) para valores grandes de y=ln(2x).

Passo 6

Resumo para esboçar:
  • Início em (1,0) com inclinação vertical.
  • Crescente e côncavo para baixo.
  • Sem valor definido para x<1.
  • Para grandes x, o gráfico segue próximo da reta y=ln(2x).

Resposta

O gráfico de está definido apenas para f(x)=argcosh(x), começa em x>=1 com inclinação vertical, cresce de forma estrita e côncava para baixo, e se aproxima da reta assintótica (1,0) quando y=ln(2x).

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