Construa os gráficos das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função , que é a função inversa do cosseno hiperbólico. O conteúdo envolve entender domínio, imagem, monotonicidade, concavidade e assíntotas da função arco-cosh.
Passo 2
A definição de satisfaz se e somente se
. Sabendo que
varia de 1 a
quando
vai de 0 a
, deduzimos:
- Domínio:
. - Imagem:
.
No pontotemos .
Passo 3
Cálculo da derivada para ver monotonicidade e concavidade:
A função é diferenciável para e
A função é diferenciável para
Como
Passo 4
Para a concavidade, calcula-se a segunda derivada:
Como
Passo 5
Comportamento assintótico para
:
Usando a identidade , quando é muito grande,
, logo
Usando a identidade , quando
Isto indica uma assíntota que se aproxima de
Passo 6
Resumo para esboçar:
- Início em
com inclinação vertical. - Crescente e côncavo para baixo.
- Sem valor definido para
. - Para grandes
, o gráfico segue próximo da reta .
Resposta
O gráfico de está definido apenas para
, começa em
com inclinação vertical, cresce de forma estrita e côncava para baixo, e se aproxima da reta assintótica
quando
.