(Variação dos Parâmetros) Use o método de Variação dos Parâmetros para obter a solução geral das equações e, quando for o caso, obter a solução dos problemas de valores inicial.
y^prime prime-5 y^prime+6 y=e^t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea y''-5y'+6y=e^t usando Variação de Parâmetros. O assunto é equações lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes e método de Variação de Parâmetros, para isso vamos precisar da solução geral da homogênea e depois montar a forma particular via funções variáveis.

Passo 2

Começamos encontrando a solução da equação homogênea associada y''-5y'+6y=0. A equação característica é
r^2-5r+6=0
que tem raízes r1=2 e r2=3. Logo, uma base de soluções é
y1(t)=e^2t, y2(t)=e^3t
e a solução geral homogênea é
yc(t)=C1e^2t+C2e^3t

Passo 3

No método de Variação de Parâmetros procuramos uma solução particular do tipo
yp(t)=u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t)
impondo as condições auxiliares
u1'y1+u2'y2=0
u1'y1'+u2'y2'=e^t

Passo 4

Calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas:
W(t)=y1 & y2y1'&y2'=e^2t&e^3t2e^2t&3e^3t=e^5t(3-2)=e^5t

Passo 5

Usamos as fórmulas
u1'(t)=-y2(t),e^tW(t), u2'(t)=y1(t),e^tW(t)
Substituindo,
u1'(t)=-e^3te^te^5t=-e^-t,
u2'(t)=e^2te^te^5t=e^-2t

Passo 6

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t)=integral(-e^-t),dt=e^-t,
u2(t)=integral e^-2t,dt=-tfrac12e^-2t

Passo 7

Finalmente, a solução particular é
yp=u1y1+u2y2=e^-te^2t-tfrac12e^-2te^3t=e^t-tfrac12e^t=tfrac12e^t
Portanto a solução geral da equação não homogênea é
y(t)=C1e^2t+C2e^3t+tfrac12e^t

Resposta

y(t)=C_1e{2t}+C_2e{3t}+\tfrac12e^t

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