Construa os gráficos das funções a seguir.
f(x)=ln (x+raizx^2-1)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função f(x)=lnl(x+raizx^2-1r). Este é um exercício de análise de funções: precisamos determinar domínio, valores críticos, monotonicidade, concavidade e comportamento assintótico para depois esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, encontramos o domínio exigindo que o argumento do logaritmo seja positivo e que o radical seja real. Temos x^2-1>=0, ou seja x<=-1 ou x>=1. Mas dentro do logarítmico x+raizx^2-1>0 só ocorre para x>=1. Logo o domínio é [1,infty).
No ponto x=1 a raiz zera e f(1)=ln(1+0)=0. Além disso, ao aproximar de 1^+ vemos que f'(x) tende a infinito (tangente vertical).

Passo 3

Calculamos a derivada para ver monotonicidade e concavidade:
f'(x)=ddxlnl(x+raizx^2-1r)=1raizx^2-1>0(forall x>1),
f''(x)=ddxl((x^2-1)^-1/2r)=-x(x^2-1)^3/2<0(forall x>1)

Passo 4

Portanto f é crescente e concava para baixo em (1,infty), com tangente vertical em x=1.

Passo 5

Para xtoinfty, fazemos
f(x)=lnl(x+raizx^2-1r)=ln x+lnl(1+raiz1-tfrac1x^2r)toln x+ln2
Isso mostra que, para grandes x, f(x)approxln x+ln2. O gráfico cresce indefinidamente de forma logarítmica, ficando “quase paralelo” à curva y=ln x+ln2.
Com todas essas informações construímos o esboço: começa em (1,0) com tangente vertical, sobe de forma crescente e côncava para baixo, e para x grandes cresce devagar aproximando-se da forma de ln x+ln2.

Resposta

Domínio [1,infty), ponto inicial (1,0) com tangente vertical, função crescente e côncava para baixo em (1,infty), e comportamento assintótico para xtoinfty dado por f(x)simln x+ln2. O esboço mostra a curva subindo indefinidamente de forma logarítmica.

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