Resolva as equaçÔes abaixo. Use um fator integrante para equaçÔes exatas, se preciso.

Passo 1

Nossa equação é (y^2+2xy),dx - x^2,dy = 0. Isso cai em equações diferenciais exatas, mas primeiro a gente testa se ela já é exata ou se precisa de fator integrante.
Identificamos M(x,y) = y^2 + 2xy e N(x,y) = -x^2. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2y + 2x, partial Npartial x = -2x

Passo 2

Como 2y+2x neq -2x, não é exata. Vamos buscar um fator integrante mu que dependa só de y. A condição para mu(y) é partial N/partial x - partial M/partial yM = f(y). Calculamos:
-2x - (2y+2x)y^2 + 2xy = -2(2x+y)y(2x+y) = -2y

Passo 3

Logo f(y) = -2/y e
mu(y) = expl(integral -tfrac2y,dyr) = y^-2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por y^-2, obtendo:
M^*(x,y) = 1 + 2xy, N^*(x,y) = -x^2y^2, e agora ela é exata, pois
partial M^*partial y = -2x y^-2, partial N^*partial x = -2x y^-2

Passo 5

Buscamos a função potencial psi(x,y) tal que psix = M^*:
psi(x,y) = integral l(1 + 2xyr)dx = x + x^2y + h(y) Derivando em y e igualando a N^* h'(y)=0, ou seja, h é constante. Então
psi(x,y) = x + x^2y = C

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
x + x^2y = C

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