Obter uma Série de Maclaurin para
.
Passo 1
No enunciado, queremos a série de Maclaurin de
. Este conteúdo envolve a expansão em série de Taylor em torno de zero. Para resolver, vamos precisar da série conhecida de
e da definição de Maclaurin.
Passo 2
Sabendo que a função
tem série de Maclaurin dada por
[
\cosh(w) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{w^{2n}}{(2n)!}
] explicamos que esta série vem das derivadas de avaliadas em zero.
[
\cosh(w) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{w^{2n}}{(2n)!}
] explicamos que esta série vem das derivadas de
Passo 3
Substituindo
na série de
, obtemos
[
\cosh(z^2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z2){2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{4n}}{(2n)!}
].
[
\cosh(z^2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z2){2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{4n}}{(2n)!}
].
Passo 4
Agora multiplicamos por
para obter
. Isso dá
[
f(z)= z \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{4n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{4n+1}}{(2n)!}
].
[
f(z)= z \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{4n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{4n+1}}{(2n)!}
].
Passo 5
Por fim, escrevemos os primeiros termos para ver o padrão:
[
f(z) = z + \frac{z^5}{2!} + \frac{z^9}{4!} + \frac{z^{13}}{6!} + \cdots
].
[
f(z) = z + \frac{z^5}{2!} + \frac{z^9}{4!} + \frac{z^{13}}{6!} + \cdots
].
Resposta
[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{4n+1}}{(2n)!} ]