Obter uma Série de Maclaurin para .

Passo 1

No enunciado, queremos a série de Maclaurin de f(z)=zcosh(z^2). Este conteúdo envolve a expansão em série de Taylor em torno de zero. Para resolver, vamos precisar da série conhecida de cosh(w) e da definição de Maclaurin.

Passo 2

Sabendo que a função cosh(w) tem série de Maclaurin dada por
[
\cosh(w) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{w^{2n}}{(2n)!}
] explicamos que esta série vem das derivadas de cosh(w) avaliadas em zero.

Passo 3

Substituindo w = z^2 na série de cosh(w), obtemos
[
\cosh(z^2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z2){2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{4n}}{(2n)!}
].

Passo 4

Agora multiplicamos por z para obter f(z)=zcosh(z^2). Isso dá
[
f(z)= z \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{4n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{4n+1}}{(2n)!}
].

Passo 5

Por fim, escrevemos os primeiros termos para ver o padrão:
[
f(z) = z + \frac{z^5}{2!} + \frac{z^9}{4!} + \frac{z^{13}}{6!} + \cdots
].

Resposta

[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{4n+1}}{(2n)!} ]

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