Construa os gráficos das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
. O conteúdo aqui envolve análise de comportamento de funções oscilatórias, uso do Teorema do Confronto (Squeeze) para
, identificação de curvas-envelope e possíveis assíntotas.
Passo 2
Primeiro vamos ver o domínio de
. Como aparece
, só faz sentido para
. Mas é comum estender
em
por continuidade, definindo
.
Passo 3
Agora analisamos
. Sabemos que
. Multiplicando por
dá
Pelo Teorema do Confronto,
. Logo, estendendo
, a função fica contínua em
.
Passo 4
Devemos ainda notar que o gráfico de
fica preso entre as curvas-envelope
Isso mostra que as oscilações de
em torno do eixo
têm amplitude que vai a zero conforme
.
Passo 5
Para
usamos a expansão
para
pequeno. Então
Mais precisamente, pode-se mostrar que
quando
, ou seja, a reta
é assíntota oblíqua para
.
Passo 6
Para montar o esboço do gráfico, procedemos assim:
- Para
, há oscilações de freqüência crescente ao nos aproximarmos de zero, todas contidas entre , e além de um certo grande o traço de se aproxima da reta . - Para
, comportamento análogo: oscilações frenéticas perto de zero entre , e para temos também aproximação à reta . - Em
, marcamos o ponto para completar a continuidade.
Passo 7
Juntando tudo, o gráfico mostra um “cinturão” de oscilações de amplitude decrescente conforme
, encaixado entre as parábolas
, e duas assíntotas oblíquas
nos semieixos.
Passo 8
O esboço final fica com:
- Envoltórias:
. - Oscilações senoidais de fase variável (frequência
). - Ponto contínuo em
. - Assíntota oblíqua
para .
Resposta
O gráfico de
consiste em oscilações cada vez mais rápidas e de amplitude decrescente quando
, confinadas entre as parábolas
, unidas pelo ponto
, e aproxima-se da reta
como assíntota oblíqua para
.