Construa os gráficos das funções a seguir.
f(x)=x^2 sen 1x

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função f(x)=x^2sintfrac1x. O conteúdo aqui envolve análise de comportamento de funções oscilatórias, uso do Teorema do Confronto (Squeeze) para xto0, identificação de curvas-envelope e possíveis assíntotas.

Passo 2

Primeiro vamos ver o domínio de f. Como aparece sintfrac1x, só faz sentido para xneq0. Mas é comum estender f em x=0 por continuidade, definindo f(0)=0.

Passo 3

Agora analisamos xto0. Sabemos que -1<=sintfrac1x<=1. Multiplicando por x^2>=0
-x^2<= x^2sintfrac1x<= x^2
Pelo Teorema do Confronto, limxto0x^2sintfrac1x=0. Logo, estendendo f(0)=0, a função fica contínua em 0.

Passo 4

Devemos ainda notar que o gráfico de f fica preso entre as curvas-envelope
y1(x)=-x^2,
y2(x)=+x^2
Isso mostra que as oscilações de f em torno do eixo x têm amplitude que vai a zero conforme xto0.

Passo 5

Para xtoinfty usamos a expansão sin uapprox u para u=1/x pequeno. Então
f(x)=x^2sintfrac1xapprox x^2cdottfrac1x = x
Mais precisamente, pode-se mostrar que f(x)-xto0 quando xtoinfty, ou seja, a reta y=x é assíntota oblíqua para xto+infty.

Passo 6

Para montar o esboço do gráfico, procedemos assim:
  • Para x>0, há oscilações de freqüência crescente ao nos aproximarmos de zero, todas contidas entre ±x^2, e além de um certo x grande o traço de f se aproxima da reta y=x.
  • Para x<0, comportamento análogo: oscilações frenéticas perto de zero entre ±x^2, e para xto-infty temos também aproximação à reta y=x.
  • Em x=0, marcamos o ponto (0,0) para completar a continuidade.

Passo 7

Juntando tudo, o gráfico mostra um “cinturão” de oscilações de amplitude decrescente conforme xto0, encaixado entre as parábolas ±x^2, e duas assíntotas oblíquas y=x nos semieixos.

Passo 8

O esboço final fica com:
  • Envoltórias: y=pm x^2.
  • Oscilações senoidais de fase variável (frequência 1/|x|).
  • Ponto contínuo em (0,0).
  • Assíntota oblíqua y=x para |x|toinfty.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^2sintfrac1x consiste em oscilações cada vez mais rápidas e de amplitude decrescente quando xto0, confinadas entre as parábolas y=pm x^2, unidas pelo ponto (0,0), e aproxima-se da reta y=x como assíntota oblíqua para |x|toinfty.

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