Derivando a Série de Maclaurin para 1 /(1-z), obtenha as representações em série para
(a) 1(1-z)^2,
(b) 1(1-z)^3.

Passo 1

A questão pede a expansão em série de Maclaurin de 1(1-z)^2 e 1(1-z)^3. Vamos precisar usar séries de potências e aplicar diferenciação termo a termo dentro do raio de convergência.

Passo 2

Começamos lembrando da expansão de 11-z:
11-z = sumn=0^infty z^n
Essa série converge para |z|<1.

Passo 3

Para obter 1(1-z)^2 derivamos termo a termo a série de 11-z. A operação é válida pois a derivada de séries de potências preserva o raio de convergência. Sabemos que ddzl(11-zr) = 1(1-z)^2. Derivando cada termo de sumn=0^infty z^n temos
1(1-z)^2 = sumn=1^infty n,z^n-1 = sumn=0^infty (n+1)z^n

Passo 4

Agora, para 1(1-z)^3, derivamos a série de 1(1-z)^2. A derivada dessa é 2(1-z)^3. Derivando sumn=0^infty (n+1)z^n termo a termo obtemos
2(1-z)^3 = sumn=1^infty (n+1)n,z^n-1 = sumn=0^infty (n+2)(n+1)z^n
Dividindo por 2 vem
1(1-z)^3 = sumn=0^infty (n+1)(n+2)2z^n

Passo 5

Podemos observar que (n+1)(n+2)2 = binomn+22, o que dá uma forma alternativa para a série de 1(1-z)^3:
1(1-z)^3 = sumn=0^infty binomn+22z^n

Resposta

Para |z|<1: 1(1-z)^2 = sumn=0^infty (n+1)z^n e 1(1-z)^3 = sumn=0^infty (n+1)(n+2)2z^n.

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