Derivando a Série de Maclaurin para
, obtenha as representações em série para
(a)
,
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
A questão pede a expansão em série de Maclaurin de
e
. Vamos precisar usar séries de potências e aplicar diferenciação termo a termo dentro do raio de convergência.
Passo 2
Começamos lembrando da expansão de
:
Essa série converge para
.
Passo 3
Para obter
derivamos termo a termo a série de
. A operação é válida pois a derivada de séries de potências preserva o raio de convergência. Sabemos que
. Derivando cada termo de
temos
Passo 4
Agora, para
, derivamos a série de
. A derivada dessa é
. Derivando
termo a termo obtemos
Dividindo por 2 vem
Passo 5
Podemos observar que
, o que dá uma forma alternativa para a série de
:
Resposta
Para
:
e
.