Use a Desigualdade Triangular para provar que
Passo 1
O enunciado pede para provar a chamada desigualdade triangular reversa para números complexos:
Queremos mostrar que
O conteúdo envolvido é a desigualdade triangular normal para complexos, que diz que para quaisquer complexos
e
Vamos usar essa desigualdade e manipulações algébricas simples.
Passo 2
Vamos aplicar a desigualdade triangular ao número complexo
escrito como diferença:
Pela desigualdade triangular,
Mas
. Portanto,
Passo 3
Agora basta isolar
. Subtraindo
dos dois lados, obtemos
Passo 4
De modo análogo, trocando os papéis de
e
, escrevemos
e daí
Passo 5
Repare que temos duas desigualdades:
e
A maior delas, em valor absoluto, é
Logo,
o que é exatamente o que queríamos demonstrar.
Resposta
Foi provado que
usando apenas a desigualdade triangular ordinária.