Use a Desigualdade Triangular para provar que
|z1+z2| >= | |z1| - |z2 | |
Dica: Comece utilizando |z1|=|(z1+z2)-z2| <=|z1+z2|+|z2|

Passo 1

O enunciado pede para provar a chamada desigualdade triangular reversa para números complexos:
Queremos mostrar que
|z1+z2|>= ||z1|-|z2||
O conteúdo envolvido é a desigualdade triangular normal para complexos, que diz que para quaisquer complexos w e v
|w+v|<=|w|+|v|
Vamos usar essa desigualdade e manipulações algébricas simples.

Passo 2

Vamos aplicar a desigualdade triangular ao número complexo z1 escrito como diferença:
|z1|=|(z1+z2)-z2|
Pela desigualdade triangular,
|(z1+z2)-z2|<=|z1+z2|+|-z2|
Mas |-z2|=|z2|. Portanto,
|z1|<=|z1+z2|+|z2|

Passo 3

Agora basta isolar |z1+z2|. Subtraindo |z2| dos dois lados, obtemos
|z1|-|z2|<=|z1+z2|

Passo 4

De modo análogo, trocando os papéis de z1 e z2, escrevemos
|z2|=|(z1+z2)-z1|<=|z1+z2|+|z1|
e daí
|z2|-|z1|<=|z1+z2|

Passo 5

Repare que temos duas desigualdades:
|z1|-|z2|<=|z1+z2|
e
|z2|-|z1|<=|z1+z2|
A maior delas, em valor absoluto, é
max,|z1|-|z2|,;|z2|-|z1|; =;||z1|-|z2||
Logo,
||z1|-|z2||<=|z1+z2|,
o que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

Foi provado que
|z1+z2|>=||z1|-|z2||
usando apenas a desigualdade triangular ordinária.

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