Construa os gráficos das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função f(x)=x+sen(x). Vamos usar conceitos de análise de funções: domínio, interceptos, derivada para monotonicidade e pontos críticos, e comportamento assintótico/periódico para construir o esboço.
Passo 2
O domínio de f é todo ℝ, pois não há restrições em x. O intercepto com o eixo y ocorre em x=0, obtendo f(0)=0+sen(0)=0. Então o gráfico passa por (0,0).
Passo 3
Para entender como f cresce ou decresce, calculamos a derivada:
Passo 4
Como −1≤cos(x)≤1, temos 0≤f’(x)≤2. Logo, f’(x) nunca é negativa, então f é estritamente crescente. Os pontos onde f’(x)=0 ocorrem quando \cos(x)=−1, ou seja em x=(2n+1)π, onde a tangente ao gráfico fica horizontal.
Passo 5
Nos pontos x=nπ, temos sen(nπ)=0, logo f(nπ)=nπ. Em particular, em x=π,3π,5π,… o gráfico toca a reta y=x com tangente horizontal; entre esses pontos, a função oscila acima e abaixo de y=x com amplitude máxima de ±1.
Passo 6
Juntando tudo, o esboço é a reta y=x “ondulada” pela senóide de amplitude 1. O gráfico é uma curva crescente que acompanha y=x, com “picos” aproximados em x=2nπ (onde f’(x)=2) e “planos” horizontais em x=(2n+1)π.
Passo 7
O gráfico final mostra uma linha crescente com variações periódicas de ±1 em torno de y=x, interceptando (0,0) e tendo tangente horizontal em x=(2n+1)π.
Resposta
O gráfico de f(x)=x+sen(x) é uma curva estritamente crescente que acompanha a reta y=x com oscilações senoidais de amplitude 1, interceptando (0,0) e tendo tangentes horizontais em x=(2n+1)π.