Use, se possível, a Regra de L’Hospital para calcular os limites abaixo:
lim x 5 (1 / x)-(1 / 5)x-5

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite limxto 51/x - 1/5x - 5. O conteúdo envolvido é limite de função que leva a uma forma indeterminada 0/0, e vamos usar a Regra de L’Hospital, que exige derivar numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, verificar a forma indeterminada. Substituindo diretamente x=5: 1/5 - 1/5 = 0 no numerador e 5 - 5 = 0 no denominador. Logo temos a forma 0/0, típica para aplicar L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que, se limxto a f(x)=0 e limxto a g(x)=0, então
limxto af(x)g(x) = limxto af'(x)g'(x), \ndesde que esse novo limite exista. Aqui f(x)=1/x - 1/5 e g(x)=x-5. Derivando, temos:
f'(x) = -1x^2,
g'(x) = 1
Portanto
limxto 51/x - 1/5x - 5 = limxto 5-1/x^21 = limxto 5l(-1x^2r)

Passo 4

Basta agora avaliar -1/x^2 em x=5:
-15^2 = -125

Resposta

-\nfrac{1}{25}

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