Construa os gráficos das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe o gráfico da função por partes
Conteúdo: funções definidas por partes (funções constantes, valor absoluto de polinômio, reta e parábola).
Vamos decompor em cada parte, achar domínio, continuação nos pontos de fronteira e depois sobrepor tudo num mesmo sistema.
Conteúdo: funções definidas por partes (funções constantes, valor absoluto de polinômio, reta e parábola).
Vamos decompor em cada parte, achar domínio, continuação nos pontos de fronteira e depois sobrepor tudo num mesmo sistema.
Passo 2
Parte 1 (x < –2):
Aqui f(x)=3 é uma reta horizontal de altura y=3 para todo x menor que –2.
→ Traça uma linha horizontal em y=3 para x<–2.
→ No ponto x=–2 coloca um círculo aberto em (–2,3), pois esse valor não pertence.
Aqui f(x)=3 é uma reta horizontal de altura y=3 para todo x menor que –2.
→ Traça uma linha horizontal em y=3 para x<–2.
→ No ponto x=–2 coloca um círculo aberto em (–2,3), pois esse valor não pertence.
Passo 3
Parte 2 (|x| ≤ 2):
f(x)=|–x²+1|=|1–x²|. Para entender, olha primeiro g(x)=1–x²: é uma parábola invertida com zeros em x=±1.
– Para –1≤x≤1 temos 1–x²≥0, então f(x)=1–x² (metade de uma parábola virada pra baixo).
– Para 1<|x|≤2 temos 1–x²<0, então f(x)=–(1–x²)=x²–1 (parte de parábola pra cima).
Pontos chave:
– Em x=0, f(0)=1.
– Em x=±1, f=0 (fechados).
– Em x=±2, f=3 (fechados).
Desenha esses dois pedaços unidos e pontua todos os extremos fechados em x=–2, –1, 1, 2.
f(x)=|–x²+1|=|1–x²|. Para entender, olha primeiro g(x)=1–x²: é uma parábola invertida com zeros em x=±1.
– Para –1≤x≤1 temos 1–x²≥0, então f(x)=1–x² (metade de uma parábola virada pra baixo).
– Para 1<|x|≤2 temos 1–x²<0, então f(x)=–(1–x²)=x²–1 (parte de parábola pra cima).
Pontos chave:
– Em x=0, f(0)=1.
– Em x=±1, f=0 (fechados).
– Em x=±2, f=3 (fechados).
Desenha esses dois pedaços unidos e pontua todos os extremos fechados em x=–2, –1, 1, 2.
Passo 4
Parte 3 (2 < x ≤ 4):
f(x)=–(3/2)(x–2)+3=–3/2 x+6. É uma reta decrescente de coeficiente angular –3/2.
– Em x=2: f=3, mas x=2 não pertence, então ponto (2,3) aberto.
– Em x=4: f(4)=–6+6=0, e x=4 pertence, então ponto (4,0) fechado.
Desenha o segmento de reta ligando esses pontos (com um aberto em x=2 e fechado em x=4).
f(x)=–(3/2)(x–2)+3=–3/2 x+6. É uma reta decrescente de coeficiente angular –3/2.
– Em x=2: f=3, mas x=2 não pertence, então ponto (2,3) aberto.
– Em x=4: f(4)=–6+6=0, e x=4 pertence, então ponto (4,0) fechado.
Desenha o segmento de reta ligando esses pontos (com um aberto em x=2 e fechado em x=4).
Passo 5
Parte 4 (x > 4):
f(x)=x²–8x+16=(x–4)². É uma parábola de vértice em (4,0), voltada pra cima.
– No vértice (4,0) coloca círculo aberto porque x=4 não entra nessa parte.
Desenha o ramo da parábola para x>4.
f(x)=x²–8x+16=(x–4)². É uma parábola de vértice em (4,0), voltada pra cima.
– No vértice (4,0) coloca círculo aberto porque x=4 não entra nessa parte.
Desenha o ramo da parábola para x>4.
Passo 6
Agora sobrepondo tudo:
Num mesmo sistema, coloca:
– Reta horizontal em y=3 para x<–2 (open em x=–2).
– Regiões da parábola e valor absoluto entre –2 e 2 (fechados nos limites).
– Segmento de reta de (2,3) aberto até (4,0) fechado.
– Ramo de parábola (x–4)² para x>4 com vértice aberto.
Num mesmo sistema, coloca:
– Reta horizontal em y=3 para x<–2 (open em x=–2).
– Regiões da parábola e valor absoluto entre –2 e 2 (fechados nos limites).
– Segmento de reta de (2,3) aberto até (4,0) fechado.
– Ramo de parábola (x–4)² para x>4 com vértice aberto.
Passo 7
O gráfico final é a união dessas quatro partes, observando onde abrir e fechar círculos nos pontos de transição. Ele mostra possíveis saltos em x=–2 e continuidade em x=±2, x=4 conforme definimos.
Resposta
O gráfico é a sobreposição destas quatro partes:
- Reta horizontal y=3 para x<–2 (círculo aberto em (–2,3)).
- Função f(x)=|1–x²| em –2≤x≤2: parábola invertida entre –1 e 1 (fechada) e parábola normal entre |x|>1 (fechada), atingindo f(±2)=3.
- Segmento de reta de (2,3) aberto até (4,0) fechado, com coeficiente angular –3/2.
- Ramo de parábola (x–4)² para x>4, vértice aberto em (4,0) e aberta para cima.