Obtenha as séries de Taylor de cada uma das funções abaixo em torno dos pontos z0 dados. Descreva a região de convergência.

Passo 1

O exercício pede para obter a série de Taylor (Maclaurin) de sin(z^2) em torno de z0=0 e indicar onde ela converge. O conteúdo é expansão em série de potências e usaremos a série conhecida de sin(w).

Passo 2

A teoria diz que, para sin(w), temos a expansão em série de Maclaurin:
sin(w)=sumn=0^infty(-1)^nw^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Para aplicar ao nosso caso, basta fazer w=z^2. Então
sin(z^2)=sumn=0^infty(-1)^n(z^2)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty(-1)^nz^4n+2(2n+1)!

Passo 4

Como sin(w) é uma função inteira (analítica em todo C), a série resultante converge para todos os zinC. O raio de convergência é infinito e a região de convergência é o plano inteiro.

Resposta

sin(z^2)=sumn=0^infty(-1)^nz^4n+2(2n+1)!, com região de convergência: todo o plano complexo (raio de convergência infinito).

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