Equação de Bernoulli. A equação
é um exemplo de uma equação de Bernoulli:
. (a) Mostre que a substituição
reduz a equação acima a
(b) Encontre a solução geral
da equação acima. Então, faça a substituição
para obter a solução geral da equação de Bernoulli em (a).
Passo 1
A gente tem a equação
, que é um caso de equação de Bernoulli com
,
e expoente
. O plano é usar a substituição
para transformar em uma equação linear e depois voltar para
.
Passo 2
Como
, derivando em relação a
dá
, logo
Substituindo em e multiplicando por
obtemos:
Substituindo em
mas
, então a equação fica
Passo 3
que é linear de 1ª ordem com
. O fator integrante é
Multiplicando tudo por
temos
Passo 4
Integramos ambos os lados. Usando partes em
Logo
e isolando
vem
Passo 5
Por fim, voltamos à variável original: como
,
Resposta
y(x)=\Bigl(\tfrac{x}{2}-\tfrac{1}{12}+C e{-6x}\Bigr){1/3}