Equação de Bernoulli. A equação
d yd x+2 y=x y^-2
é um exemplo de uma equação de Bernoulli:
d yd x+P(x) y=Q(x) y^alpha
com alpha in R, alpha neq 0. (a) Mostre que a substituição v=y^3 reduz a equação acima a
d vd x+6 v=3 x
(b) Encontre a solução geral v(x) da equação acima. Então, faça a substituição v=y^3 para obter a solução geral da equação de Bernoulli em (a).

Passo 1

A gente tem a equação dydx+2y = x y^-2, que é um caso de equação de Bernoulli com P(x)=2, Q(x)=x e expoente alpha=-2. O plano é usar a substituição v=y^1-alpha=y^3 para transformar em uma equação linear e depois voltar para y(x).

Passo 2

Como v=y^3, derivando em relação a x dvdx=3y^2dydx, logo
dydx+2y=x y^-2
Substituindo em 3y^2 e multiplicando por dvdx+6y^3=3x, obtemos:
y^3=v
mas dvdx+6v=3x, , então a equação fica

Passo 3

que é linear de 1ª ordem com P(x)=6. O fator integrante é
mu(x)=e^integral6,dx=e^6x
Multiplicando tudo por e^6x temos
ddxl(v e^6xr)=3x e^6x

Passo 4

Integramos ambos os lados. Usando partes em
integral3x e^6xdx=3l(x e^6x6-integrale^6x6dxr)=x e^6x2-e^6x12+C
Logo
v e^6x=x e^6x2-e^6x12+C
e isolando v vem
v(x)=x2-112+C e^-6x

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original: como v=y^3,
y(x)=l(x2-112+C e^-6xr)^1/3

Resposta

y(x)=\Bigl(\tfrac{x}{2}-\tfrac{1}{12}+C e{-6x}\Bigr){1/3}

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