Construa os gráficos das seguintes funções definidas em R e sorneça o conjunto imagem de cada uma delas: f(x)=\left\{\begin{array}{rll}\frac{x}{2}, & \text { se } & x \geq 0 \\\\ 2-x, & \text { se } & x<0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que se construa o gráfico da função definida em \mathbb{R}\)
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{2}, & \text{se } x\ge 0,\\[6pt] 2-x, & \text{se } x<0, \end{cases}
e que se forneça o conjunto imagem (ou seja, o conjunto de valores que f\] assume).
Informações dadas:
- A função é por partes: uma expressão para \(x\ge 0 e outra para x<0.
- Precisamos obter o gráfico (esboço com os dois ramos) e o conjunto imagem \operatorname{Im}(f).]
Passo 2
Análise do ramo para x\ge 0: expressão e forma geométrica.
A regra é f(x)=\dfrac{x}{2} quando x\ge 0. Esta é uma reta passando pela origem com coeficiente angular \dfrac{1}{2} (declive positivo menor que 1). Alguns pontos úteis:
Para x=0 temos f(0)=\dfrac{0}{2}=0. Portanto o ponto (0,0) pertence ao gráfico (ponto preenchido).
Para x=2 temos f(2)=1. Para x=4 temos f(4)=2, etc.
Agora calculemos algebraicamente a imagem desse ramo. Seja y=\dfrac{x}{2} com x\ge 0. Resolver para y:
x=2y.
A condição x\ge 0 vira 2y\ge 0, ou seja y\ge 0. Conclusão: a imagem do ramo direito (para x\ge 0) é
\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge 0\} = [0,\infty).
Passo 3
Análise do ramo para x<0: expressão e forma geométrica.
A regra é f(x)=2-x quando x<0. Esta é uma reta de coeficiente angular -1 (inclinação decrescente quando x aumenta), intercepto no eixo y igual a 2. Pontos úteis:
O valor limite quando x\to 0^- é \lim_{x\to 0^-} (2-x)=2. Como a definição usa x<0, o ponto (0,2) não pertence ao ramo esquerdo (será um círculo aberto nesse ponto).
Para x=-1 temos f(-1)=3; para x=-2 temos f(-2)=4. À medida que x\to -\infty, f(x)=2-x\to +\infty.
Vamos encontrar a imagem desse ramo resolvendo y=2-x com a condição x<0. Isolando x:
x=2-y.
A condição x<0 torna-se 2-y<0, ou seja y>2. Conclusão: a imagem do ramo esquerdo (para x<0) é
\{y\in\mathbb{R}\mid y>2\} = (2,\infty).
Passo 4
Combinação das imagens dos dois ramos.
A imagem total de f é a união das imagens dos dois ramos:
Observe que (2,\infty)\subset [0,\infty), então a união simplifica-se para
\operatorname{Im}(f) = [0,\infty).
Passo 5
Como desenhar o gráfico passo a passo (instruções práticas para a prova):
Desenhe os eixos x e y.
Ramo direito (x\ge 0): desenhe a reta y=\dfrac{x}{2} somente para x\ge 0. Comece no ponto (0,0) com ponto preenchido e, ao ir para a direita, risque a reta com inclinação \tfrac{1}{2}. Marque alguns pontos (por exemplo (2,1), (4,2)).
Ramo esquerdo (x<0): desenhe a reta y=2-x somente para x<0. Na posição x=0 ela atinge y=2, mas como x=0 não pertence ao ramo esquerdo coloque um círculo aberto em (0,2). Ao ir para a esquerda a reta sobe (por exemplo (-1,3),(-2,4)).
Verifique a união: o ponto (0,0) está no gráfico (vindo do ramo direito). O ponto (0,2) não está (círculo aberto), mas y=2 é atingido pelo ramo direito em x=4 (pois 4/2=2), então 2 pertence à imagem global.
Dica visual/resumo: o gráfico tem dois ramos retos: um com inclinação \tfrac{1}{2} saindo de (0,0) para a direita; outro com inclinação -1 que passa por (0,2) mas com esse ponto deixado aberto e se estende para a esquerda indo ao infinito em y.
Passo 6
Observações finais (curtas, úteis para prova):
A função é descontínua em x=0, porque \lim_{x\to 0^-} f(x)=2 e \lim_{x\to 0^+} f(x)=0 e f(0)=0. Há um salto (discontinuidade do tipo salto).
A imagem já encontrada é [0,\infty): todos os valores y\ge 0 aparecem (alguns pela reta x/2, outros também pela reta 2-x quando y>2).