Relativamente à funçāo f, de R em R, dada por f(x)=3 .|x|+1, è correto afirmar que:
a. f é decrescente para todo x \leq 1
b. f é crescente para todo x \neq 0
c. f(x)=-2 para algum x \in R
d. f(\dot{x})=f(-x)
e. f(x)=-f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=3|x|+1.
Pede-se avaliar quais das alternativas a seguir são corretas:
a. f é decrescente para todo x\leq 1
b. f é crescente para todo x\neq 0
c. f(x)=-2 para algum x\in\mathbb{R}
d. f(\dot{x})=f(-x)
e. f(x)=-f(x)
Observação sobre a alternativa (d): no enunciado aparece \dot{x}. Vou interpretar esse símbolo como sendo simplesmente x (um ponto na letra provavelmente é um erro tipográfico), isto é, considero que a alternativa quer dizer f(x)=f(-x). Seguirei essa interpretação ao analisar (d).

Passo 2

Vamos entender bem a função escrevendo-a em duas expressões, uma para x\ge 0\) e outra para \(x<0\). A função valor absoluto tem a definição \[|x|= \begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Substituindo em f\]: \[f(x)= \begin{cases} 3x+1, & x\ge 0,\\[4pt] -3x+1, & x<0. \end{cases}\] Isto significa que, à direita da origem, \(f é a reta 3x+1 e, à esquerda, é a reta -3x+1.]

Passo 3

Agora estudamos monotonicidade (o que significa “crescente” e “decrescente”):
  • Uma função é crescente em um intervalo quando, se x_1<x_2 nesse intervalo, então f(x_1)\le f(x_2). Para uma reta ax+b isso ocorre quando o coeficiente angular a é positivo.
  • Uma função é decrescente em um intervalo quando, se x_1<x_2, então f(x_1)\ge f(x_2). Para uma reta ax+b isto ocorre quando a é negativo.
Aplicando isso às duas expressões:
  • Para x\ge 0: f(x)=3x+1 tem coeficiente angular 3>0. Logo f é crescente em [0,\infty).
  • Para x<0: f(x)=-3x+1 tem coeficiente angular -3 (note que a variável é x, então o coeficiente visível é -3), portanto -3<0 e f é decrescente em (-\infty,0).
Conclusão prática: f decresce para x<0, atinge mínimo em x=0 e cresce para x>0. Essa é a forma típica de a|x|+b com a>0.

Passo 4

Analisando a alternativa (a): " f é decrescente para todo x\le 1 ".
Se fosse verdade, para quaisquer x_1<x_2 com x_1,x_2\le 1 deveríamos ter f(x_1)\ge f(x_2). Mas já vimos que para x em [0,1] a função é crescente (pois em [0,\infty) é 3x+1). Um contraexemplo simples: tome x_1=0,5 e x_2=0,6. Calculando,
f(0,5)=3\cdot 0,5+1=1,5+1=2,5, \qquad f(0,6)=3\cdot 0,6+1=1,8+1=2,8.
Aqui x_1<x_2 e f(x_1)<f(x_2), ou seja, a função aumenta entre esses pontos, mostrando que não é decrescente em todo (-\infty,1]. Portanto (a) é falsa.

Passo 5

Analisando a alternativa (b): " f é crescente para todo x\neq 0 ".
Isso afirmaria que tanto à esquerda como à direita de zero a função é crescente. Mas verificamos que em (-\infty,0) a expressão é f(x)=-3x+1 com coeficiente -3, logo é decrescente nesse intervalo. Um contraexemplo: tome x_1=-2 e x_2=-1. Temos x_1<x_2 mas
f(-2)=3|{-2}|+1=3\cdot 2+1=7, \qquad f(-1)=3\cdot 1+1=4.
Aqui f(-2)=7>4=f(-1), o que mostra comportamento decrescente à esquerda de zero. Portanto (b) é falsa.

Passo 6

Analisando a alternativa (c): " f(x)=-2 para algum x\in\mathbb{R} ".
Queremos ver se existe x tal que 3|x|+1=-2. Resolver a equação:
3|x|+1=-2 \quad\Longrightarrow\quad 3|x|=-3 \quad\Longrightarrow\quad |x|=-1.
Mas |x| é sempre \ge 0, nunca é -1. Logo não há solução real. Outra observação: para todo x vale f(x)=3|x|+1\ge 1, então não pode ser -2. Portanto (c) é falsa.

Passo 7

Analisando a alternativa (d): " f(\dot{x})=f(-x) " (interpretei como f(x)=f(-x)).
Calcule f(-x):
f(-x)=3|{-x}|+1=3|x|+1=f(x).
Portanto f(-x)=f(x) para todo x: a função é par (simétrica em relação ao eixo y). Assim (d) é verdadeira.

Passo 8

Analisando a alternativa (e): " f(x)=-f(x) ".
Isto exigiria que, para todo x, f(x)=-f(x), ou seja 2f(x)=0 e então f(x)=0 para todo x. Mas já vimos que f(x)\ge 1 para todo x, então isso é impossível. Outra forma: se existisse x com f(x)=-f(x) teria f(x)=0, o que não ocorre. Portanto (e) é falsa.

Passo 9

Resumo das verificações:
  • (a) falsa — há crescimento em [0,1], logo não decrescente em todo x\le 1.
  • (b) falsa — à esquerda de zero a função é decrescente.
  • (c) falsa — f(x)\ge 1, não existe x com f(x)=-2.
  • (d) verdadeira — f é par: f(-x)=f(x).
  • (e) falsa — implicaria f\equiv 0, o que não é o caso.

Resposta

d

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