Relativamente à funçāo
, de
em
, dada por
, è correto afirmar que:
a.
é decrescente para todo
b.
é crescente para todo
c.
para algum
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se avaliar quais das alternativas a seguir são corretas:
a. é decrescente para todo
b. é crescente para todo
c. para algum
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Observação sobre a alternativa (d): no enunciado aparece
. Vou interpretar esse símbolo como sendo simplesmente
(um ponto na letra provavelmente é um erro tipográfico), isto é, considero que a alternativa quer dizer
. Seguirei essa interpretação ao analisar (d).
Passo 2
Vamos entender bem a função escrevendo-a em duas expressões, uma para
Substituindo em
é a reta
e, à esquerda, é a reta
.]
Passo 3
Agora estudamos monotonicidade (o que significa “crescente” e “decrescente”):
- Uma função é crescente em um intervalo quando, se
nesse intervalo, então . Para uma reta isso ocorre quando o coeficiente angular é positivo. - Uma função é decrescente em um intervalo quando, se
, então . Para uma reta isto ocorre quando é negativo.
Aplicando isso às duas expressões:
- Para
: tem coeficiente angular . Logo é crescente em . - Para
: tem coeficiente angular (note que a variável é , então o coeficiente visível é ), portanto e é decrescente em .
Conclusão prática:
decresce para
, atinge mínimo em
e cresce para
. Essa é a forma típica de
com
.
Passo 4
Analisando a alternativa (a): "
é decrescente para todo
".
Se fosse verdade, para quaisquer com
deveríamos ter
. Mas já vimos que para
em
a função é crescente (pois em
é
). Um contraexemplo simples: tome
e
. Calculando,
Se fosse verdade, para quaisquer
Aqui
e
, ou seja, a função aumenta entre esses pontos, mostrando que não é decrescente em todo
. Portanto (a) é falsa.
Passo 5
Analisando a alternativa (b): "
é crescente para todo
".
Isso afirmaria que tanto à esquerda como à direita de zero a função é crescente. Mas verificamos que em a expressão é
com coeficiente
, logo é decrescente nesse intervalo. Um contraexemplo: tome
e
. Temos
mas
Isso afirmaria que tanto à esquerda como à direita de zero a função é crescente. Mas verificamos que em
Aqui
, o que mostra comportamento decrescente à esquerda de zero. Portanto (b) é falsa.
Passo 6
Analisando a alternativa (c): "
para algum
".
Queremos ver se existe tal que
. Resolver a equação:
Queremos ver se existe
Mas
é sempre
, nunca é
. Logo não há solução real. Outra observação: para todo
vale
, então não pode ser
. Portanto (c) é falsa.
Passo 7
Analisando a alternativa (d): "
" (interpretei como
).
Calcule :
Calcule
Portanto
para todo
: a função é par (simétrica em relação ao eixo
). Assim (d) é verdadeira.
Passo 8
Analisando a alternativa (e): "
".
Isto exigiria que, para todo ,
, ou seja
e então
para todo
. Mas já vimos que
para todo
, então isso é impossível. Outra forma: se existisse
com
teria
, o que não ocorre. Portanto (e) é falsa.
Isto exigiria que, para todo
Passo 9
Resumo das verificações:
- (a) falsa — há crescimento em
, logo não decrescente em todo . - (b) falsa — à esquerda de zero a função é decrescente.
- (c) falsa —
, não existe com . - (d) verdadeira —
é par: . - (e) falsa — implicaria
, o que não é o caso.
Resposta
d