Construa os gráficos das seguintes funções definidas em R e forneça o conjunto imagem de cada uma delas:

Passo 1

O enunciado pede a construção dos gráficos das funções (definidas em \mathbb{R}) e o fornecimento do conjunto imagem (range) de cada uma.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma função foi incluída na mensagem — o enunciado que eu recebi não contém a lista das funções a serem analisadas.
O problema é que, sem a expressão explícita de cada função, não há como construir os gráficos específicos nem determinar rigorosamente os conjuntos imagem. Não se pode adivinhar as funções nem inventar enunciados; para cada função a análise depende de sua fórmula (por exemplo, um polinômio, uma exponencial, uma função trigonométrica, etc.). Portanto, não é possível dar as respostas numéricas/finais pedidas para funções que não foram apresentadas.

Passo 2

Apesar disso, vou te ensinar passo a passo, de forma didática e prática, o método que você deve aplicar para construir o gráfico de uma função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} e para encontrar seu conjunto imagem durante a prova. Esses passos servem como um roteiro que dá pra aplicar a qualquer função que o professor possa cobrar.
  1. Domínio: confirme se a função está realmente definida em todo \mathbb{R}. Se houver pontos problemáticos (divisão por zero, radiciação de índice par de número negativo, logaritmo de não-positivo), observe que o domínio será menor que \mathbb{R}. O conjunto imagem só faz sentido considerando o domínio real da função.
  2. Interceptos: calcule f(0) (intercepto com o eixo y) e resolva f(x)=0 para achar interceptos com o eixo x.
  3. Simetria: verifique se f é par ( f(-x)=f(x)), ímpar ( f(-x)=-f(x)) ou nenhuma — isso ajuda a esboçar metade do gráfico.
  4. Limites nas extremidades: calcule \lim_{x\to+\infty} f(x) e \lim_{x\to-\infty} f(x) para identificar comportamento assintótico e valores extremos da imagem.
  5. Derivadas (se a função for diferenciável): calcule f'(x) para achar intervalos de crescimento/decrescimento e pontos críticos ( f'(x)=0 ou f' indefinida). Use f''(x) para classificar extremos (mínimo/ máximo) se necessário. Isso costuma ser o passo que define o mínimo ou máximo global, importante para a imagem.
  6. Assíntotas: linhas horizontais y=L quando \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L; verticais onde a função diverge; oblíquas quando f(x)- (ax+b)\to0 para algum a,b. Assíntotas ajudam a desenhar o gráfico para grandes |x|.
  7. Pontos notáveis e tabela de valores: calcule alguns pontos (por exemplo x=-2,-1,0,1,2) para ter referência no esboço.
  8. Montagem do esboço: combine a informação acima: interceptos, monotonicidade, extremos, limites e simetria.
  9. Conjunto imagem: a partir da identificação de extremos (mínimos e máximos globais) e dos limites às extremidades, determine se a imagem é [m,\infty), (-\infty,M], \mathbb{R}, [m,M], (0,\infty), etc.

Passo 3

  • Derivada: f'(x) dá a inclinação instantânea. Se f'(x)>0 em um intervalo, f cresce aí; se f'(x)<0, f decresce. Pontos onde f'(x)=0 são candidatos a extremos.
  • Completar quadrado (para quadráticas): para f(x)=ax^2+bx+c com a\neq0, escrever
f(x)=a\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^2 + \Bigl(c-\frac{b^2}{4a}\Bigr)
mostra o vértice e o mínimo (se a>0) ou máximo (se a<0). O valor mínimo (ou máximo) é f\bigl(-\tfrac{b}{2a}\bigr)=c-\tfrac{b^2}{4a}.
  • Limites exponenciais e logarítmicos: \lim_{x\to\infty} e^x=+\infty, \lim_{x\to-\infty} e^x=0^+; \lim_{x\to\infty}\ln x=+\infty, \lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty.
  • Funções trigonométricas: \sin x e \cos x têm imagem [-1,1], são periódicas de período 2\pi.
  • Polinômios: grau ímpar \Rightarrow imagem tipicamente \mathbb{R} (tendem a \pm\infty em extremos opostos); grau par com coeficiente líder positivo \Rightarrow [m,\infty) com m mínimo global, etc.

Passo 4

Vou resolver alguns exemplos clássicos, bem mastigados, para você poder replicar a técnica na prova.
Exemplo A — função linear: f(x)=ax+b com a\neq0.
  • Intercepto y: f(0)=b.
  • Zeros: f(x)=0 \Rightarrow x=-\dfrac{b}{a}.
  • Derivada: f'(x)=a (constante). Se a>0 cresce sempre; se a<0 decresce sempre.
  • Limites: \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\pm\infty com sinais opostos porque a\neq0.
  • Conclusão sobre imagem: \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.
Exemplo B — quadrática simples: f(x)=x^2.
  • Derivada: f'(x)=2x. Igual a zero em x=0.
  • f''(x)=2>0 então x=0 é mínimo.
  • Valor mínimo: f(0)=0.
  • Limites: \lim_{x\to\pm\infty} x^2=+\infty.
  • Imagem: \mathrm{Im}(f)=[0,\infty).
    Dica de prova sem derivada: observe que x^2\ge0 para todo x, e para cada y\ge0 existe x=\sqrt{y} tal que x^2=y.
Exemplo C — quadrática genérica: f(x)=ax^2+bx+c com a>0.
  • Vértice em x_v=-\dfrac{b}{2a}.
  • Valor mínimo f(x_v)=c-\dfrac{b^2}{4a}.
  • Então \mathrm{Im}(f)=\Bigl[c-\dfrac{b^2}{4a},\infty\Bigr).
Exemplo D — valor absoluto: f(x)=|x|.
  • Simetria par: f(-x)=f(x).
  • Mínimo em x=0 com f(0)=0.
  • \lim_{x\to\pm\infty} |x|=+\infty.
  • Imagem: [0,\infty).
Exemplo E — exponencial: f(x)=e^x.
  • É sempre positiva: e^x>0 para todo x.
  • Limites: \lim_{x\to-\infty} e^x=0^+, \lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty.
  • Imagem: (0,\infty).
Exemplo F — seno: f(x)=\sin x.
  • Periodicidade 2\pi.
  • Máximos 1, mínimos -1.
  • Imagem: [-1,1].
Exemplo G — cúbica: f(x)=x^3.
  • Derivada f'(x)=3x^2\ge0, só zero em x=0 (ponto de inflexão).
  • Limites: \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty, \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty.
  • Imagem: \mathbb{R}.

Passo 5

  • Se for polinomial: usar análise de sinais, limites e derivadas; para grau 1 e 3 (ímpares) espere imagem \mathbb{R} (sob certas condições).
  • Se for racional: examine domínio (zeros do denominador), limite em infinitos e assíntotas verticais; pode ter lacunas na imagem.
  • Se for composta (por exemplo e^{x^2} ou \ln(x^2+1)): identifique a imagem do interior e aplique monotonicidade da função externa.
    Escolha a técnica que fornece mais informação útil sem cálculos desnecessários; em prova, primeiro rapidez (domínio e limites), depois refinamento (derivadas para extremos).

Passo 6

  • Faça uma tabela pequena de valores e marque os pontos críticos. Em muitos exercícios de prova isso já garante a imagem.
  • Para mostrar que a imagem contém todos os valores acima de um mínimo, tente resolver f(x)=y e mostre que para todo y na faixa proposta existe x real que satisfaz (ou use inversa/monotonicidade).
  • Para polinômios de grau ímpar, cite limites nos extremos para justificar \mathbb{R}.
  • Para quadráticas, usar completar quadrado é rápido para achar o extremo e a imagem.

Passo 7

Respira fundo: o esquema é sempre o mesmo. Na prova, ao ver a função, percorra mentalmente os passos que eu mostrei: domínio → interceptos → simetria → limites → derivada/pontos críticos → esboço → imagem. Com isso você consegue resolver a maioria das questões pedidas pelo seu professor.

Resposta

Não é possível construir os gráficos nem determinar os conjuntos imagem porque o enunciado não forneceu as funções a serem analisadas.

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