Construa os gráficos das seguintes funções definidas em
e forneça o conjunto imagem de cada uma delas:
Passo 1
O enunciado pede a construção dos gráficos das funções (definidas em
) e o fornecimento do conjunto imagem (range) de cada uma.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma função foi incluída na mensagem — o enunciado que eu recebi não contém a lista das funções a serem analisadas.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma função foi incluída na mensagem — o enunciado que eu recebi não contém a lista das funções a serem analisadas.
O problema é que, sem a expressão explícita de cada função, não há como construir os gráficos específicos nem determinar rigorosamente os conjuntos imagem. Não se pode adivinhar as funções nem inventar enunciados; para cada função a análise depende de sua fórmula (por exemplo, um polinômio, uma exponencial, uma função trigonométrica, etc.). Portanto, não é possível dar as respostas numéricas/finais pedidas para funções que não foram apresentadas.
Passo 2
Apesar disso, vou te ensinar passo a passo, de forma didática e prática, o método que você deve aplicar para construir o gráfico de uma função
e para encontrar seu conjunto imagem durante a prova. Esses passos servem como um roteiro que dá pra aplicar a qualquer função que o professor possa cobrar.
- Domínio: confirme se a função está realmente definida em todo
. Se houver pontos problemáticos (divisão por zero, radiciação de índice par de número negativo, logaritmo de não-positivo), observe que o domínio será menor que . O conjunto imagem só faz sentido considerando o domínio real da função. - Interceptos: calcule
(intercepto com o eixo ) e resolva para achar interceptos com o eixo . - Simetria: verifique se
é par ( ), ímpar ( ) ou nenhuma — isso ajuda a esboçar metade do gráfico. - Limites nas extremidades: calcule
e para identificar comportamento assintótico e valores extremos da imagem. - Derivadas (se a função for diferenciável): calcule
para achar intervalos de crescimento/decrescimento e pontos críticos ( ou indefinida). Use para classificar extremos (mínimo/ máximo) se necessário. Isso costuma ser o passo que define o mínimo ou máximo global, importante para a imagem. - Assíntotas: linhas horizontais
quando ; verticais onde a função diverge; oblíquas quando para algum . Assíntotas ajudam a desenhar o gráfico para grandes . - Pontos notáveis e tabela de valores: calcule alguns pontos (por exemplo
) para ter referência no esboço. - Montagem do esboço: combine a informação acima: interceptos, monotonicidade, extremos, limites e simetria.
- Conjunto imagem: a partir da identificação de extremos (mínimos e máximos globais) e dos limites às extremidades, determine se a imagem é
, , , , , etc.
Passo 3
- Derivada:
dá a inclinação instantânea. Se em um intervalo, cresce aí; se , decresce. Pontos onde são candidatos a extremos. - Completar quadrado (para quadráticas): para
com , escrever
mostra o vértice e o mínimo (se
) ou máximo (se
). O valor mínimo (ou máximo) é
.
- Limites exponenciais e logarítmicos:
, ; , . - Funções trigonométricas:
e têm imagem , são periódicas de período . - Polinômios: grau ímpar
imagem tipicamente (tendem a em extremos opostos); grau par com coeficiente líder positivo com mínimo global, etc.
Passo 4
Vou resolver alguns exemplos clássicos, bem mastigados, para você poder replicar a técnica na prova.
Exemplo A — função linear:
com
.
- Intercepto
: . - Zeros:
. - Derivada:
(constante). Se cresce sempre; se decresce sempre. - Limites:
com sinais opostos porque . - Conclusão sobre imagem:
.
Exemplo B — quadrática simples:
.
- Derivada:
. Igual a zero em . -
então é mínimo. - Valor mínimo:
. - Limites:
. - Imagem:
.
Dica de prova sem derivada: observe quepara todo , e para cada existe tal que .
Exemplo C — quadrática genérica:
com
.
- Vértice em
. - Valor mínimo
. - Então
.
Exemplo D — valor absoluto:
.
- Simetria par:
. - Mínimo em
com . -
. - Imagem:
.
Exemplo E — exponencial:
.
- É sempre positiva:
para todo . - Limites:
, . - Imagem:
.
Exemplo F — seno:
.
- Periodicidade
. - Máximos
, mínimos . - Imagem:
.
Exemplo G — cúbica:
.
- Derivada
, só zero em (ponto de inflexão). - Limites:
, . - Imagem:
.
Passo 5
- Se for polinomial: usar análise de sinais, limites e derivadas; para grau 1 e 3 (ímpares) espere imagem
(sob certas condições). - Se for racional: examine domínio (zeros do denominador), limite em infinitos e assíntotas verticais; pode ter lacunas na imagem.
- Se for composta (por exemplo
ou ): identifique a imagem do interior e aplique monotonicidade da função externa.
Escolha a técnica que fornece mais informação útil sem cálculos desnecessários; em prova, primeiro rapidez (domínio e limites), depois refinamento (derivadas para extremos).
Passo 6
- Faça uma tabela pequena de valores e marque os pontos críticos. Em muitos exercícios de prova isso já garante a imagem.
- Para mostrar que a imagem contém todos os valores acima de um mínimo, tente resolver
e mostre que para todo na faixa proposta existe real que satisfaz (ou use inversa/monotonicidade). - Para polinômios de grau ímpar, cite limites nos extremos para justificar
. - Para quadráticas, usar completar quadrado é rápido para achar o extremo e a imagem.
Passo 7
Respira fundo: o esquema é sempre o mesmo. Na prova, ao ver a função, percorra mentalmente os passos que eu mostrei: domínio → interceptos → simetria → limites → derivada/pontos críticos → esboço → imagem. Com isso você consegue resolver a maioria das questões pedidas pelo seu professor.
Resposta
Não é possível construir os gráficos nem determinar os conjuntos imagem porque o enunciado não forneceu as funções a serem analisadas.