Construa os gráficos das seguintes funções
f(x)=1x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função f(x)= 1x^2+1. O conteúdo principal é estudo de gráfico de função racional: vamos precisar determinar domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Determinar o domínio: como o denominador x^2+1 nunca se anula para x real, o domínio é R=[-infty,infty].
Calcular interceptos: o intercepto y ocorre em x=0, dando f(0)=1/(0^2+1)=1, ou seja ponto (0,1). Não há intercepto x, pois f(x)>0 para todo x, logo nunca cruza o eixo x.
Verificar simetria: f(-x)=1/((-x)^2+1)=1/(x^2+1)=f(x), logo f é função par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Encontrar assíntotas: não há assíntota vertical. Para xtopminfty, f(x)to0, então há assíntota horizontal y=0.

Passo 3

Estudar monotonicidade via a primeira derivada:
f'(x)=ddxl(1x^2+1r)=-2x(x^2+1)^2 Como f'(x)>0 para x<0 e f'(x)<0 para x>0, a função cresce em (-∞,0) e decresce em (0,∞), atingindo máximo em x=0.

Passo 4

Estudar concavidade via a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(-2x(x^2+1)^2r)=6x^2-2(x^2+1)^3 Resolvendo f''(x)=0 obtém-se x=pm1raiz3. Para |x|<1/√3, 6x^2-2<0 indica concavidade para baixo; para |x|>1/√3, concavidade para cima. Há pontos de inflexão em x=pm1/raiz3, com f(pm1/raiz3)=1(1/3)+1=34.

Passo 5

Com todas essas informações (domínio, intercepto em (0,1), simetria, assíntota y=0, máximo em (0,1), inflexões em (±1/√3,3/4) e comportamento em ±∞), podemos esboçar a curva: uma “campainha” simétrica, que atinge 1 no centro e decai suavemente até se aproximar de zero.
O esboço fica com a curva subindo de y→0 para (0,1), depois descendo novamente para y→0, sem cortar o eixo x, e apresentando mudança de concavidade nos pontos de inflexão.

Resposta

O gráfico de f(x)=1/(x^2+1) é uma curva simétrica em relação ao eixo y, com máximo em (0,1), assíntota horizontal y=0, sem interceptos com o eixo x, e pontos de inflexão em x=±1/√3 (altura 3/4). A curva cresce de y≈0 até (0,1) e depois decresce de volta para y≈0.

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