Construa os gráficos das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico da função f(x)=
. O conteúdo principal é estudo de gráfico de função racional: vamos precisar determinar domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Determinar o domínio: como o denominador x^2+1 nunca se anula para x real, o domínio é
.
Calcular interceptos: o intercepto y ocorre em x=0, dando , ou seja ponto (0,1). Não há intercepto x, pois
para todo x, logo nunca cruza o eixo x.
Verificar simetria: , logo f é função par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Encontrar assíntotas: não há assíntota vertical. Para ,
, então há assíntota horizontal
.
Calcular interceptos: o intercepto y ocorre em x=0, dando
Verificar simetria:
Encontrar assíntotas: não há assíntota vertical. Para
Passo 3
Estudar monotonicidade via a primeira derivada:
Passo 4
Estudar concavidade via a segunda derivada:
Passo 5
Com todas essas informações (domínio, intercepto em (0,1), simetria, assíntota y=0, máximo em (0,1), inflexões em (±1/√3,3/4) e comportamento em ±∞), podemos esboçar a curva: uma “campainha” simétrica, que atinge 1 no centro e decai suavemente até se aproximar de zero.
O esboço fica com a curva subindo de y→0 para (0,1), depois descendo novamente para y→0, sem cortar o eixo x, e apresentando mudança de concavidade nos pontos de inflexão.
O esboço fica com a curva subindo de y→0 para (0,1), depois descendo novamente para y→0, sem cortar o eixo x, e apresentando mudança de concavidade nos pontos de inflexão.
Resposta
O gráfico de f(x)=1/(x^2+1) é uma curva simétrica em relação ao eixo y, com máximo em (0,1), assíntota horizontal y=0, sem interceptos com o eixo x, e pontos de inflexão em x=±1/√3 (altura 3/4). A curva cresce de y≈0 até (0,1) e depois decresce de volta para y≈0.