(Transformações)
Mostre que a função F(s)=1 / s transforma o semiplano y>c2 no interior de um circulo, desde que c2>0.

Passo 1

Temos a função de transformação F dada por w=F(s)=1/s que atua no plano complexo. A questão pede para mostrar que o semiplano Im(s)>c₂ (com c₂>0) é levado para o interior de um círculo no plano w. Para isso vamos usar a descrição de w em coordenadas reais e a teoria de inversão, que diz que reta não passando pela origem vira círculo.

Passo 2

Escrevendo s=x+iy e w=u+iv, temos
w=1s=x-iyx^2+y^2
Logo as componentes reais e imaginárias são
u=xx^2+y^2, v=-yx^2+y^2

Passo 3

A fronteira do semiplano é a reta y=c₂. Para encontrar a imagem dessa reta, impomos y=c₂ e usamos a relação Im(1/w)=c₂, ou seja
Iml(tfrac1wr)=c₂
Mas Im(1/w)=-v/(u^2+v^2), logo
-vu^2+v^2=c₂
Reescrevendo,
c₂(u^2+v^2)+v=0
que é a equação geométrica de um círculo.

Passo 4

Para encontrar centro e raio, dividimos por c₂ e completamos o quadrado:
u^2+v^2+ vc₂=0
v^2+ vc₂=(v+tfrac12c₂)^2-14c₂^2
Substituindo de volta,
u^2+(v+tfrac12c₂)^2=14c₂^2
Assim o círculo tem centro em (0,-1/(2c₂)) e raio 1/(2c₂).

Passo 5

Para ver que Im(s)>c₂ corresponde ao interior do círculo, note que y>c₂ implica
-vu^2+v^2>c₂
ou seja
c₂(u^2+v^2)+v<0
que, seguindo o mesmo passo de completar quadrado, dá
u^2+(v+tfrac12c₂)^2<14c₂^2
Portanto os pontos do semiplano vão para dentro do círculo.

Passo 6

Concluímos que F(s)=1/s leva o semiplano Im(s)>c₂ no interior do círculo de centro 0-i/(2c₂) e raio 1/(2c₂).

Resposta

O semiplano Im(s)>c₂ é mapeado pela transformação F(s)=1/s no interior do círculo de equação
u^2+l(v+tfrac12c₂r)^2
com centro em 0-i/(2c₂) e raio 1/(2c₂).

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