(Transformações)
Mostre que a função
transforma o semiplano
no interior de um circulo, desde que
.
Mostre que a função
Passo 1
Temos a função de transformação F dada por w=F(s)=1/s que atua no plano complexo. A questão pede para mostrar que o semiplano Im(s)>c₂ (com c₂>0) é levado para o interior de um círculo no plano w. Para isso vamos usar a descrição de w em coordenadas reais e a teoria de inversão, que diz que reta não passando pela origem vira círculo.
Passo 2
Escrevendo s=x+iy e w=u+iv, temos
Logo as componentes reais e imaginárias são
Passo 3
A fronteira do semiplano é a reta y=c₂. Para encontrar a imagem dessa reta, impomos y=c₂ e usamos a relação Im(1/w)=c₂, ou seja
Mas
, logo
Reescrevendo,
que é a equação geométrica de um círculo.
Passo 4
Para encontrar centro e raio, dividimos por c₂ e completamos o quadrado:
Substituindo de volta,
Assim o círculo tem centro em
e raio
.
Passo 5
Para ver que Im(s)>c₂ corresponde ao interior do círculo, note que y>c₂ implica
ou seja
que, seguindo o mesmo passo de completar quadrado, dá
Portanto os pontos do semiplano vão para dentro do círculo.
Passo 6
Concluímos que F(s)=1/s leva o semiplano Im(s)>c₂ no interior do círculo de centro
e raio
.
Resposta
O semiplano Im(s)>c₂ é mapeado pela transformação F(s)=1/s no interior do círculo de equação
com centro em