Prove que
e
e
Passo 1
Estamos lidando com funções trigonométricas inversas no domínio complexo: queremos mostrar que
e
Vamos usar definições de
e
em termos de exponenciais complexas, além de resolver quadráticas e aplicar logaritmo complexo.
Passo 2
Definimos
. Pela definição de cosseno complexo temos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
que é uma equação quadrática em
.
Passo 3
Resolvendo a quadrática
pelas fórmulas de Bhaskara, achamos
Para ter continuidade com o ramo principal do logaritmo, escolhemos o sinal “+”, isto é
Aplicando logaritmo complexo e isolando
:
Passo 4
Observamos que
num ramo adequado. Substituindo nesse resultado, obtemos
Passo 5
Agora definimos
e usamos
Multiplicando por
vem
ou
Resolvendo essa quadrática:
Escolhendo o sinal “+” e aplicando logaritmo, segue
Passo 6
Com isso, chegamos exatamente às fórmulas pedidas para
e
no domínio complexo.