Prove que
e
arccos (z) & =-j ln [z+j(1-z^2)^1 / 2] arcsen(z) & =-j ln [j z+(1-z^2)^1 / 2]

Passo 1

Estamos lidando com funções trigonométricas inversas no domínio complexo: queremos mostrar que
arccos(z)=-jlnl(z+jraiz1-z^2r)
e
arcsin(z)=-jlnl(jz+raiz1-z^2r)
Vamos usar definições de cos w e sin w em termos de exponenciais complexas, além de resolver quadráticas e aplicar logaritmo complexo.

Passo 2

Definimos w=arccos(z). Pela definição de cosseno complexo temos
cos w=e^jw+e^-jw2=z
Multiplicando ambos os lados por 2e^jw obtemos
e^2jw+1=2z,e^jw,
que é uma equação quadrática em e^jw.

Passo 3

Resolvendo a quadrática
(e^jw)^2-2z,e^jw+1=0
pelas fórmulas de Bhaskara, achamos
e^jw=zpmraizz^2-1
Para ter continuidade com o ramo principal do logaritmo, escolhemos o sinal “+”, isto é
e^jw=z+raizz^2-1
Aplicando logaritmo complexo e isolando w:
jw=lnl(z+raizz^2-1r)
w=-jlnl(z+raizz^2-1r)

Passo 4

Observamos que
raizz^2-1=jraiz1-z^2
num ramo adequado. Substituindo nesse resultado, obtemos
arccos(z)=-jlnl(z+jraiz1-z^2r)

Passo 5

Agora definimos w=arcsin(z) e usamos
sin w=e^jw-e^-jw2j=z
Multiplicando por 2j,e^jw vem
e^2jw-1=2jz,e^jw
ou
(e^jw)^2-2jz,e^jw-1=0
Resolvendo essa quadrática:
e^jw=jzpmraiz1-z^2
Escolhendo o sinal “+” e aplicando logaritmo, segue
arcsin(z)=-jlnl(jz+raiz1-z^2r)

Passo 6

Com isso, chegamos exatamente às fórmulas pedidas para arccos(z) e arcsin(z) no domínio complexo.

Resposta

arccos(z)=-jlnl(z+jraiz1-z^2r) e arcsin(z)=-jlnl(jz+raiz1-z^2r).

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