Construa os gráficos das seguintes funções
f(x)=(|x-2|-2)^2

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico de f(x) = (|x–2| – 2)². O conteúdo envolve valor absoluto e parabolas, e vamos precisar usar a definição por partes de |x–2|, depois subtrair 2 e elevar ao quadrado para ter cada ramo da função.

Passo 2

Primeiro escrevemos h(x) = |x–2| – 2 e então f(x) = [h(x)]². Como |x–2| é definido por partes, temos: para x ≥ 2, |x–2| = x–2; para x < 2, |x–2| = –(x–2).

Passo 3

Para x < 2 substituímos em h(x):
h(x)= (x2) 2 = x +2 2 = x
Logo
f(x) = [x]² = x², x<2 ²²
Esta é uma parabola com vértice em (0,0), aberta para cima, mas só nos x<2. Em x=2, f(2)=2²=4.

Passo 4

Para x ≥ 2 usamos |x–2| = x–2 e temos:
h(x)= (x2) 2 = x4
Logo
f(x) = (x4)², x>=2 ²
Esta é uma parabola com vértice em (4,0), aberta para cima, mas só para x≥2. Em x=2, f(2)=(2–4)²=4, fechando com o ramo esquerdo.

Passo 5

Para esboçar o gráfico anotamos pontos-chave:
  • Ramo esquerdo (x<2): vértice em (0,0), passa por (1,1) e chega em (2,4).
  • Ramo direito (x≥2): começa em (2,4), desce até (4,0) e depois cresce: em (3,1), (5,1), etc.
    Ligamos esses pontos com as curvas parabólicas correspondentes.

Passo 6

Unindo os dois ramos temos o gráfico completo de f(x), que consiste em duas metades de parábolas que se encontram suavemente em (2,4).

Resposta

A função fica definida por partes como
f(x)= x^2, & x<2, (x-4)^2, & x>=2,
com vértices em (0,0) e (4,0), encontrando-se em (2,4). O esboço é dado por essas duas parábolas unidas em (2,4).

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