Obtenha as séries de Taylor de cada uma das funções abaixo em torno dos pontos z0 dados. Descreva a região de convergência.
1 / z^2 ; z0=2

Passo 1

Temos a função f(z)=1z^2 e queremos sua série de Taylor em torno de z0=2. O conteúdo aqui é séries de Taylor para funções holomorfas em torno de um ponto não nulo; vamos precisar reescrever a função em termos de w=z-2 e usar a expansão de 1(1+u)^2.

Passo 2

Definimos w=z-2, logo z=2+w. Reescrevendo:
f(z)=1(2+w)^2=14,1l(1+w2r)^2

Passo 3

Sabemos que para |u|<1 vale a expansão binomial:
1(1+u)^2=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)u^n

Passo 4

Aqui substituímos u=w2. Então:
f(z)=14sumn=0^infty(-1)^n(n+1)l(w2r)^n =sumn=0^infty(-1)^nn+14,2^nw^n

Passo 5

Voltando a w=z-2, obtemos a série de Taylor:
f(z)=sumn=0^infty(-1)^nn+12^n+2(z-2)^n
A região de convergência vem de |u|<1, ou seja l|tfracz-22r|<1, isto é |z-2|<2.

Resposta

A série de Taylor de 1/z^2 em torno de z0=2 é
1z^2=sumn=0^infty(-1)^nn+12^n+2(z-2)^n
com região de convergência |z-2|<2.

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