Construa os gráficos das seguintes funções
f(x)=x-1x+4

Passo 1

Temos a função f(x)=x-1x+4. O conteúdo aqui é função racional do tipo P(x)/Q(x). Para esboçar o gráfico, vamos precisar do domínio, assíntotas (vertical e horizontal), interceptos e comportamento da função em cada região.

Passo 2

O domínio de f é todo R exceto onde o denominador zera. Como x+4=0 quando x=-4, temos dom (f)=xin R:xneq-4 e assíntota vertical em
x=-4

Passo 3

Para achar a assíntota horizontal, comparamos os graus do numerador e do denominador. Ambos têm grau 1, então a assíntota horizontal é a reta
y=coeficiente de x no numcoeficiente de x no denom=11=1

Passo 4

Logo, y=1 é assíntota horizontal. Em seguida, encontramos os interceptos: para x-intercepto, fazemos numerador zero:
x-1=0implies x=1implies(1,0)
Para y-intercepto, tomamos x=0:
f(0)=0-10+4=-14implies(0,-tfrac14)

Passo 5

Agora estudamos o comportamento em cada região dividida por -4: nos intervalos (-infty,-4) e (-4,+infty). Calculamos limites:
limxto-4^-f(x)=+infty, limxto-4^+f(x)=-infty, limxto+inftyf(x)=1^-, limxto-inftyf(x)=1^+
Isso mostra que a curva é uma hipérbole que se aproxima de x=-4 e y=1, trocando de ramo nos dois lados de x=-4.

Passo 6

Com domínio, assíntotas e interceptos em mãos, fazemos o esboço: dois ramos de hipérbole, um em x<-4 acima de y=1 indo a +infty quando xto-4^- e outro em x>-4 abaixo de y=1, passando por (1,0) e aproximando-se de y=1 quando xto+infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=tfracx-1x+4 é uma hipérbole com: domínio xneq-4; assíntotas em x=-4 (vertical) e y=1 (horizontal); interceptos em (1,0) e (0,-1/4). O ramo à esquerda de x=-4 fica acima de y=1 e vai a +∞ em xto-4^-, o ramo à direita fica abaixo de y=1, passa por (1,0) e tende a 1 quando xto+infty.

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