Encontre as constantes reais
e
para que as funções a seguir sejam analíticas.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores reais de a, b, c e d de modo que a função f(z)=u(x,y)+jv(x,y) seja analítica, ou seja, satisfaz as equações de Cauchy–Riemann. Vamos precisar identificar as partes reais u(x,y) e imaginárias v(x,y) e então aplicar as condições de Cauchy–Riemann.
Passo 2
As partes real e imaginária de f são dadas por:
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann em coordenadas (x,y) são
u_x = v_y
e
u_y = -v_x.
u_x = v_y
e
u_y = -v_x.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
u_x = 2x + a y,
u_x = 2x + a y,
Passo 5
Aplicando u_x = v_y e u_y = -v_x e igualando coeficientes em x e y, obtemos o sistema:
• De u_x = v_y: 2x + a y = d x + 2y ⇒ 2 = d e a = 2.
• De u_y = -v_x: a x + 2b y = -2c x - d y ⇒ a = -2c e 2b = -d.
Substituindo a=2 e d=2 dá c = -1 e b = -1.
• De u_x = v_y: 2x + a y = d x + 2y ⇒ 2 = d e a = 2.
• De u_y = -v_x: a x + 2b y = -2c x - d y ⇒ a = -2c e 2b = -d.
Substituindo a=2 e d=2 dá c = -1 e b = -1.
Resposta
a = 2, b = -1, c = -1, d = 2