Encontre as constantes reais a, b, c e d para que as funções a seguir sejam analíticas.
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Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores reais de a, b, c e d de modo que a função f(z)=u(x,y)+jv(x,y) seja analítica, ou seja, satisfaz as equações de Cauchy–Riemann. Vamos precisar identificar as partes reais u(x,y) e imaginárias v(x,y) e então aplicar as condições de Cauchy–Riemann.

Passo 2

As partes real e imaginária de f são dadas por:
u(x,y)=x^2+a x y+b y^2,
v(x,y)=c x^2+d x y+y^2

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann em coordenadas (x,y) são
u_x = v_y
e
u_y = -v_x.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
u_x = 2x + a y,
uy = a x + 2b y,
vx = 2c x + d y,
vy = d x + 2y

Passo 5

Aplicando u_x = v_y e u_y = -v_x e igualando coeficientes em x e y, obtemos o sistema:
• De u_x = v_y: 2x + a y = d x + 2y ⇒ 2 = d e a = 2.
• De u_y = -v_x: a x + 2b y = -2c x - d y ⇒ a = -2c e 2b = -d.
Substituindo a=2 e d=2 dá c = -1 e b = -1.

Resposta

a = 2, b = -1, c = -1, d = 2

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