Construa os gráficos das seguintes funções reais: (ESCOLHA APENAS UM ITEM)
f(x)=\frac{x-1}{2-x}

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da função racional
f(x)=\frac{x-1}{2-x}.
O conteúdo aqui é análise de funções racionais: vamos determinar domínio, assíntotas (verticais e horizontais), interceptos com os eixos e a forma de hipérbole deslocada para esboçar o gráfico.

Passo 2

Domínio de f: o denominador não pode ser zero, ou seja
2 - x \neq 0 \;\Longrightarrow\; x \neq 2.
Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 3

Assíntotas verticais e horizontais:
  • Assíntota vertical: ocorre onde o denominador anula, portanto
x=2.
  • Assíntota horizontal: como grau do numerador e do denominador é o mesmo, a assíntota horizontal é a reta
y=\frac{\text{coeficiente de }x\text{ no numerador}}{\text{coeficiente de }x\text{ no denominador}} =\frac{1}{-1}=-1.

Passo 4

Interceptos com os eixos:
  • Intercepto em x: põe f(x)=0, isto é x-1=0, logo
x=1 \quad\Longrightarrow\quad (1,0).
  • Intercepto em y: põe x=0, então
f(0)=\frac{0-1}{2-0}=-\tfrac12\quad\Longrightarrow\quad\bigl(0,-\tfrac12\bigr).

Passo 5

Reescrevendo f para ver a hipérbole deslocada:
f(x)=\frac{x-1}{2-x} =-\frac{x-1}{x-2} =-\frac{(x-2)+1}{x-2} =-1-\frac{1}{x-2}.
Isso mostra que o centro da hipérbole está em \bigl(2,-1\bigr), com ramos aproximando-se de x=2 e y=-1.

Passo 6

Análise de comportamento em cada ramo:
  • Para x>2, x-2>0 implica -1/(x-2)<0, então f(x)<-1. Ao aproximar x\to2^+, f(x)\to-\infty. Ao x\to+\infty, f(x)\to-1^-. Esse ramo fica abaixo da assíntota horizontal, à direita de x=2.
  • Para x<2, x-2<0 implica -1/(x-2)>0, então f(x)>-1. Ao x\to2^-, f(x)\to+\infty. Ao x\to-\infty, f(x)\to-1^+. Esse ramo fica acima de y=-1, à esquerda de x=2.

Resposta

O gráfico de f(x)=\frac{x-1}{2-x} é uma hipérbole com:
Assíntotas em x=2 e y=-1; interceptos em (1,0) e \bigl(0,-\tfrac12\bigr); ramo esquerdo (para x<2) acima de y=-1 e ramo direito (para x>2) abaixo de y=-1, ambos aproximando-se das assíntotas.

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