Resolva (ESCOLHA APENAS UM ITEM)
\left(\frac{1}{4}\right)^{\log _{\frac{1}{5}}\left(x^{2}-x+19\right)}>\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
\left(\frac{1}{4}\right)^{\log_{\frac{1}{5}}\bigl(x^{2}-x+19\bigr)} \;>\;\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}.
O conteúdo aqui é inequação exponencial com base 0<\tfrac14<1, de forma que usaremos a monotonicidade decrescente da função a^u quando 0<a<1, e depois transformaremos o logaritmo para obter uma inequação polinomial.

Passo 2

Verificamos o domínio do logaritmo: é preciso que
x^{2}-x+19>0.
O discriminante desse polinômio é
\Delta =(-1)^{2}-4\cdot1\cdot19 = 1-76 = -75<0,
logo x^{2}-x+19>0 para todo x\in\mathbb{R}. Não temos restrição de domínio.

Passo 3

Como a base \tfrac14 está entre 0 e 1, a função u\mapsto(\tfrac14)^u é estritamente decrescente. Portanto
\left(\frac14\right)^{\log_{\frac15}(x^{2}-x+19)} > \left(\frac14\right)^{-2} \quad\Longrightarrow\quad \log_{\frac15}(x^{2}-x+19) < -2.

Passo 4

Agora usamos o fato de que também \tfrac15\in(0,1), o que faz \log_{\frac15}(y) decrescente em y>0. Assim,
\log_{\frac15}(x^{2}-x+19)<-2 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x+19 > \Bigl(\tfrac15\Bigr)^{-2}.

Passo 5

Calculamos
\Bigl(\tfrac15\Bigr)^{-2} = 5^{2} = 25,
então a inequação vira
x^{2}-x+19 > 25 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x-6 > 0.

Passo 6

Resolvemos x^{2}-x-6>0. As raízes de x^{2}-x-6=0 são
x = \frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2} = \frac{1\pm5}{2},
isto é, x=-2 e x=3. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e temos
x^{2}-x-6>0 \quad\Longrightarrow\quad x< -2\quad\text{ou}\quad x>3.

Resposta

\displaystyle (-\infty,-2)\,\cup\,(3,\infty)

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