Construa os gráficos das seguintes funções reais: (ESCOLHA APENAS UM ITEM)
f(x)=2+(1-x)^{3}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=2+(1-x)^{3}.
O conteúdo principal é interpretação de transformações de funções e uso de derivadas para analisar monotonicidade, concavidade e pontos notáveis.

Passo 2

Analisamos domínio e limites para entender o comportamento nas extremidades:
  • Domínio: todos os reais, isto é, \mathbb{R}.
  • Quando x\to -\infty, temos 1-x\to +\infty e (1-x)^3\to +\infty, logo
f(x)\to +\infty.
  • Quando x\to +\infty, então 1-x\to -\infty e (1-x)^3\to -\infty, logo
f(x)\to -\infty.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira para verificar monotonicidade:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[2+(1-x)^3\bigr]=3(1-x)^2\cdot\frac{d}{dx}(1-x)=3(1-x)^2\cdot(-1)=-3(1-x)^2.
Como (1-x)^2\ge0 para todo x, concluímos que
f'(x)\le0\quad\forall x,
ou seja, f é decrescente em \mathbb{R} e tem tangente horizontal apenas onde f'(x)=0, ou seja, em x=1.

Passo 4

Calculamos a derivada segunda para identificar pontos de inflexão e regiões de concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[-3(1-x)^2\bigr]=-3\cdot2(1-x)\cdot(-1)=6(1-x).
  • f''(x)=0 em x=1, logo há ponto de inflexão em x=1.
  • Para x<1, 1-x>0\implies f''(x)>0: concavidade para cima.
  • Para x>1, 1-x<0\implies f''(x)<0: concavidade para baixo.
    O ponto de inflexão é
\bigl(1,\;f(1)\bigr)=\bigl(1,\,2+(1-1)^3\bigr)=(1,2),
e a tangente aí é horizontal.

Passo 5

Resumo para esboçar o gráfico:
  • Dominio \mathbb{R}.
  • Decrescente em toda a reta, pois f'(x)\le0.
  • Tem ponto de inflexão em (1,2) com tangente horizontal.
  • Para x\to -\infty, f(x)\to +\infty; para x\to+\infty, f(x)\to -\infty.
  • Concavidade para cima em x<1 e para baixo em x>1.
Basta, então, desenhar uma “forma cúbica” invertida (decrescente), passando por (1,2) com inflexão ali e satisfazendo os limites acima.

Resposta

O gráfico de f(x)=2+(1-x)^3 é uma cúbica decrescente em \mathbb{R}, com ponto de inflexão e tangente horizontal em (1,2); para x\to-\infty sobe a +\infty e para x\to+\infty desce a -\infty, sendo côncava para cima quando x<1 e para baixo quando x>1.

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