Construa os gráficos das seguintes funções reais: (ESCOLHA APENAS UM ITEM)
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo principal é interpretação de transformações de funções e uso de derivadas para analisar monotonicidade, concavidade e pontos notáveis.
Passo 2
Analisamos domínio e limites para entender o comportamento nas extremidades:
- Domínio: todos os reais, isto é,
. - Quando
, temos e , logo
- Quando
, então e , logo
Passo 3
Calculamos a derivada primeira para verificar monotonicidade:
Como
para todo
, concluímos que
ou seja,
é decrescente em
e tem tangente horizontal apenas onde
, ou seja, em
.
Passo 4
Calculamos a derivada segunda para identificar pontos de inflexão e regiões de concavidade:
-
em , logo há ponto de inflexão em . - Para
, : concavidade para cima. - Para
, : concavidade para baixo.
O ponto de inflexão é
e a tangente aí é horizontal.
Passo 5
Resumo para esboçar o gráfico:
- Dominio
. - Decrescente em toda a reta, pois
. - Tem ponto de inflexão em
com tangente horizontal. - Para
, ; para , . - Concavidade para cima em
e para baixo em .
Basta, então, desenhar uma “forma cúbica” invertida (decrescente), passando por
com inflexão ali e satisfazendo os limites acima.
Resposta
O gráfico de
é uma cúbica decrescente em
, com ponto de inflexão e tangente horizontal em
; para
sobe a
e para
desce a
, sendo côncava para cima quando
e para baixo quando
.