Determine: (ESCOLHA APENAS UM ITEM)
Determine o domínio da função b) \log _{(\sqrt{x-3})}\left(\frac{-2 x^{2}+19 x-42}{-2 x^{2}+x-3}\right).

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
\log_{(\sqrt{x-3})}\Bigl(\frac{-2x^2+19x-42}{-2x^2+x-3}\Bigr).
Para isso, lembramos que numa função logaritmo é preciso que a base seja positiva e diferente de 1, e que o argumento seja estritamente positivo.

Passo 2

Condição sobre a base \sqrt{x-3}:
\sqrt{x-3}>0 e \sqrt{x-3}\neq1.
Da primeira tira-se
x-3>0\implies x>3,
da segunda
\sqrt{x-3}\neq1\implies x-3\neq1\implies x\neq4.

Passo 3

Agora a condição sobre o argumento:
\frac{-2x^2+19x-42}{-2x^2+x-3}>0.
Observamos que o denominador -2x^2+x-3 é sempre negativo, pois
2x^2 - x + 3
é uma parábola de coeficiente líder positivo e discriminante negativo, logo 2x^2 - x + 3>0\implies -2x^2 + x -3<0.
Assim a fração é positiva exatamente quando o numerador é negativo.

Passo 4

O numerador fatorado é
-2x^2+19x-42 = -2\bigl(x-\tfrac{7}{2}\bigr)(x-6).
Queremos
-2x^2+19x-42<0
que equivale a
2x^2-19x+42>0.
Essa parábola se anula em x=\tfrac{7}{2} e x=6, sendo positiva para
x<\tfrac{7}{2}\quad\text{ou}\quad x>6.

Passo 5

Interseccionando com x>3 (da base) e lembrando x\neq4, obtemos
3<x<\tfrac{7}{2} \quad\text{ou}\quad x>6.
Note que 4 não pertence a nenhum desses intervalos, então já está naturalmente excluído.

Resposta

O domínio é (3,\tfrac{7}{2})\cup(6,\infty).

Exercícios relacionados