Construa os gráficos das seguintes funções reais:
f(x)=|x^2+4 x+3|-1

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos o gráfico da função
f(x)=l|x^2+4x+3r|-1
O conteúdo principal aqui é tratar o valor absoluto de um polinômio quadrático, ou seja, identificar onde o polinômio interno muda de sinal, montar uma definição por partes e, em seguida, esboçar cada pedaço (duas parábolas) de acordo com o domínio de cada expressão.

Passo 2

Identificamos zeros e sinal de x^2+4x+3.
Resolvendo
x^2+4x+3=0
temos
x=-1, x=-3
Como é uma parábola de concavidade para cima, x^2+4x+3>=0 para x<=-3 e para x>=-1, e é negativa em -3<x< -1.

Passo 3

Usando lvert Arvert=A se A>=0 e lvert Arvert=-A se A<=0, obtemos
f(x)= x^2+4x+3-1 = x^2+4x+2, & x<= -3, -(x^2+4x+3)-1 = -x^2-4x-4, & -3<= x<= -1, x^2+4x+3-1 = x^2+4x+2, & x>= -1

Passo 4

Analisamos cada ramo:
1. Para x<= -3 e para x>= -1,
f(x)=x^2+4x+2
é uma parábola aberta para cima com coeficiente a=1. Seu vértice fica em
xv = -42cdot1=-2, f(-2)=(-2)^2+4(-2)+2 = 4-8+2=-2
Contudo, x=-2 não pertence a esses intervalos, logo o mínimo efetivo nesse ramo ocorre nas fronteiras x=-3 ou x=-1, onde
f(-3)=(-3)^2+4(-3)+2 = 9-12+2=-1,
f(-1)=(-1)^2+4(-1)+2 = 1-4+2=-1
Para grandes valores de lvert xrvert, f(x)to +infty.
2. Para -3<= x<= -1,
f(x)=-x^2-4x-4
é uma parábola aberta para baixo ( a=-1). Seu vértice ocorre em
xv = --42cdot(-1) = -2, f(-2)= -(-2)^2-4(-2)-4 = -4+8-4=0
Assim, no trecho interno ela atinge um máximo 0 em x=-2 e decresce até -1 nas extremidades, onde de fato coincide com os valores dos ramos externos.

Passo 5

Verificamos continuidade e pontos de interesse:
  • Em x=-3 e x=-1, todos os ramos dão f(-3)=f(-1)=-1, então o gráfico é contínuo.
  • Há duas raízes fora do intervalo interno, obtidas resolvendo x^2+4x+2=0: x = -2 pm raiz2 Checam-se que -2-raiz2<= -3 e -2+raiz2>= -1, então ambas pertencem aos ramos externos.
  • Em -3<x<-1, a parábola invertida atinge o pico 0 em (-2,0).
Com isso, podemos juntar os três pedaços sem descontinuidades e obter o esboço desejado.

Resposta

A função fica graficada pelas seguintes expressões:
f(x)= x^2+4x+2, & x<= -3, -x^2-4x-4, & -3<= x<= -1, x^2+4x+2, & x>= -1,
marcando-se os pontos principais:
bul<=t f(-3)=f(-1)=-1;
bul<=t máximo interno (-2,0);
bul<=t raízes externas em x=-2pmraiz2.
Desse modo, o gráfico é a união de duas parábolas voltadas para cima nos ramos externos e uma parábola voltada para baixo no intervalo [-3,-1].

Exercícios relacionados