Construa um mapa de quadrados curvilíneos do campo potencial entre dois cilindros circulares paralelos, um com 4 cm de raio dentro de outro com 8 cm de raio. Os dois eixos estão separados por 2,5 cm. Essas dimensões estão adequadas para o desenho. Para checar, calcule a capacitância por metro, tanto pelo seu desenho quanto pela fórmula exata:
onde
e
são os raios dos condutores e
é a separação dos eixos.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conteúdos vamos usar. A gente precisa construir um mapa de quadrados curvilíneos do campo potencial entre dois cilindros circulares paralelos. Um cilindro tem raio de 4 cm e o outro de 8 cm, com os eixos separados por 2,5 cm. Além disso, vamos calcular a capacitância por metro usando tanto o desenho quanto a fórmula exata. Para isso, vamos precisar de conceitos de eletrostática, especificamente sobre capacitância de sistemas de condutores, e usar a fórmula fornecida que envolve a função arco cosseno hiperbólico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da capacitância que foi dada:
Aqui, $ C $ é a capacitância por metro, $ \epsilon $ é a permissividade do meio (vamos usar $ \epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , F/m $ para o vácuo), $ a $ e $ b $ são os raios dos cilindros (4 cm e 8 cm, respectivamente), e $ D $ é a distância entre os eixos dos cilindros (2,5 cm).
Passo 3
Primeiro, precisamos converter todas as medidas para metros para manter as unidades consistentes:
- $ a = 4 , cm = 0,04 , m $
- $ b = 8 , cm = 0,08 , m $
- $ D = 2,5 , cm = 0,025 , m $
Passo 4
Agora, vamos calcular o argumento da função $ \cosh^{-1} $:
Vamos calcular cada parte:
- $ (0,04)^2 = 0,0016 $
- $ (0,08)^2 = 0,0064 $
- $ (0,025)^2 = 0,000625 $
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \cosh^{-1}(1,1523) $. A função $ \cosh^{-1}(x) $ é o arco cosseno hiperbólico de $ x $. Podemos usar uma calculadora científica ou uma tabela para encontrar esse valor:
Passo 6
Com esse valor, vamos substituir de volta na fórmula da capacitância:
Resposta
A capacitância por metro entre os dois cilindros é aproximadamente $ 57,6 \times 10^{-12} , F/m $.