Construa um mapa de quadrados curvilíneos do campo potencial entre dois cilindros circulares paralelos, um com 4 cm de raio dentro de outro com 8 cm de raio. Os dois eixos estão separados por 2,5 cm. Essas dimensões estão adequadas para o desenho. Para checar, calcule a capacitância por metro, tanto pelo seu desenho quanto pela fórmula exata:
C=2 pi epsiloncosh ^-1[(a^2+b^2-D^2) /(2 a b)]
onde a e b são os raios dos condutores e D é a separação dos eixos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conteúdos vamos usar. A gente precisa construir um mapa de quadrados curvilíneos do campo potencial entre dois cilindros circulares paralelos. Um cilindro tem raio de 4 cm e o outro de 8 cm, com os eixos separados por 2,5 cm. Além disso, vamos calcular a capacitância por metro usando tanto o desenho quanto a fórmula exata. Para isso, vamos precisar de conceitos de eletrostática, especificamente sobre capacitância de sistemas de condutores, e usar a fórmula fornecida que envolve a função arco cosseno hiperbólico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da capacitância que foi dada:
C = 2 pi epsiloncosh^-1[a^2+b^2-D^22 a b]
Aqui, $ C $ é a capacitância por metro, $ \epsilon $ é a permissividade do meio (vamos usar $ \epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , F/m $ para o vácuo), $ a $ e $ b $ são os raios dos cilindros (4 cm e 8 cm, respectivamente), e $ D $ é a distância entre os eixos dos cilindros (2,5 cm).

Passo 3

Primeiro, precisamos converter todas as medidas para metros para manter as unidades consistentes:
  • $ a = 4 , cm = 0,04 , m $
  • $ b = 8 , cm = 0,08 , m $
  • $ D = 2,5 , cm = 0,025 , m $

Passo 4

Agora, vamos calcular o argumento da função $ \cosh^{-1} $:
cosh^-1
Vamos calcular cada parte:
  • $ (0,04)^2 = 0,0016 $
  • $ (0,08)^2 = 0,0064 $
  • $ (0,025)^2 = 0,000625 $
Substituindo:
a^2 + b^2 - D^22 a b = (0,04)^2 + (0,08)^2 - (0,025)^22 times 0,04 times 0,08

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \cosh^{-1}(1,1523) $. A função $ \cosh^{-1}(x) $ é o arco cosseno hiperbólico de $ x $. Podemos usar uma calculadora científica ou uma tabela para encontrar esse valor:
cosh^-1(1,1523)

Passo 6

Com esse valor, vamos substituir de volta na fórmula da capacitância:
C = 2 pi times 8,85 times 10^-12 , F/m0,965 approx 55,68 times 10^-12 , F/m0,965 approx 57,6 times 10^-12 , F/m

Resposta

A capacitância por metro entre os dois cilindros é aproximadamente $ 57,6 \times 10^{-12} , F/m $.

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