Suponha uma partícula de massa m no estado
Psi(x, t)=A e^-a[m x^2hbar+i t]
onde A e a são constantes.
a) Determine a constante de normalização A.
b) Determine o potencial V(x) da equação de Schrödinger para a qual Psi é solução.
c) Determine lang<= xrang<=,lang<= x^2rang<=, sigmax,lang<= prang<=,lang<= p^2rang<= e sigmap.
d) O produto de sigmap e sigmax é consistente com o princípio da incerteza?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma partícula de massa Psi(x,t)=A,e^-al[m x^2hbar+i,tr], num estado quântico
onde e são constantes.
Conteúdo: Mecânica Quântica (equação de Schrödinger, operadores de e , normalização, valor esperado, princípio da incerteza).
O que vamos usar:
  • Integral gaussiana .
  • Equação de Schrödinger dependente do tempo:
    .
  • Definições de valor esperado .

Passo 2

Normalização ( 1=integral-infty^infty|Psi|^2,dx =integral |A|^2 e^-2a,m x^2hbar,dx =|A|^2raizpi2a,m/hbar ):
Precisamos de
|A|^2 = raiz2a,mpihbar Longrightarrow A=l(2a,mpihbarr)^1/4,
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escolhendo real e positivo.

Passo 3

Potencial partialx^2Psi =l(tfrac4a^2m^2x^2hbar^2-tfrac2a,mhbarr)Psi ;Longrightarrow; -hbar^22mpartialx^2Psi =l(-2a^2m,x^2 + ahbarr)Psi ( hbar a,Psi = l(-2a^2m,x^2 + ahbar + V(x)r)Psi ;Rightarrow; V(x)=2a^2m,x^2 ):
  1. Derivada temporal:
    ,→,
  2. Derivadas em :
Na E-Schrödinger:

Passo 4

Valores esperados ( alpha=2a,m/hbar Rightarrow lang<= x^2rang<==12alpha =hbar4a,m ):
Como a densidade é gaussiana centrada em zero,
.
Para , usamos
Então .
Operador momento :
  • (simetria ímpar/ par).

  • Então

Passo 5

Incerteza ( sigmax,sigmap =raizhbar4a,m;raiza,m,hbar =hbar2, ):
que alcança o mínimo do princípio de Heisenberg ( ).

Resposta

a)
b)
c)


d) Sim, , obedecendo o princípio da incerteza.

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