Suponha uma partícula de massa
no estado
onde
e
são constantes.
a) Determine a constante de normalização
.
b) Determine o potencial
da equação de Schrödinger para a qual
é solução.
c) Determine
e
.
d) O produto de
e
é consistente com o princípio da incerteza?
a) Determine a constante de normalização
b) Determine o potencial
c) Determine
d) O produto de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma partícula de massa
num estado quântico
onde
e
são constantes.
Conteúdo: Mecânica Quântica (equação de Schrödinger, operadores de e
, normalização, valor esperado, princípio da incerteza).
O que vamos usar:
Conteúdo: Mecânica Quântica (equação de Schrödinger, operadores de
O que vamos usar:
- Integral gaussiana
. - Equação de Schrödinger dependente do tempo:
. - Definições de valor esperado
.
Passo 2
Normalização (
):
Precisamos de
Precisamos de
Logo
escolhendo
real e positivo.
Passo 3
Potencial
(
):
- Derivada temporal:
,→, - Derivadas em
:
Na E-Schrödinger:
Passo 4
Valores esperados (
):
Como a densidade é gaussiana centrada em zero,
.
Para , usamos
Como a densidade
Para
Então
.
Operador momento
:
-
(simetria ímpar/ par). -
Então
Passo 5
Incerteza (
):
que alcança o mínimo do princípio de Heisenberg (
).
Resposta
a)
b)
c)
d) Sim, , obedecendo o princípio da incerteza.
b)
c)
d) Sim,