Construa um mapa de quadrados curvilíneos para um capacitor coaxial de 3 cm de raio interno e 8 cm de raio externo. Essas dimensões estão adequadas para o desenho. Use o seu esboço para calcular a capacitância por unidade de comprimento, considerando epsilonr=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre capacitores coaxiais. A ideia é construir um mapa de quadrados curvilíneos para um capacitor que tem um raio interno de 3 cm e um raio externo de 8 cm. Além disso, a gente precisa calcular a capacitância por unidade de comprimento desse capacitor, considerando que a permissividade relativa epsilonr é igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre capacitores coaxiais e usar algumas fórmulas de eletricidade básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um capacitor coaxial. Esse tipo de capacitor é composto por dois cilindros concêntricos: um interno (de raio menor) e um externo (de raio maior). A capacitância de um capacitor mede a capacidade dele de armazenar carga elétrica. No caso, estamos interessados na capacitância por unidade de comprimento, ou seja, quanto de carga ele pode armazenar por metro de comprimento.

Passo 3

A fórmula para calcular a capacitância por unidade de comprimento ( C') de um capacitor coaxial é dada por:
C' = 2 pi epsilonln(ba)
Onde:
  • C' é a capacitância por unidade de comprimento.
  • epsilon é a permissividade do material entre os cilindros.
  • a é o raio interno.
  • b é o raio externo.
  • ln é o logaritmo natural.

Passo 4

Como a permissividade relativa epsilonr é 1, a permissividade absoluta epsilon é igual à permissividade do vácuo ( epsilon0), que vale aproximadamente 8,854 times 10^-12, F/m.
epsilon = epsilonr epsilon0 = 1 times 8,854 times 10^-12, F/m = 8,854 times 10^-12, F/m

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula. Primeiro, convertemos os raios de centímetros para metros:
  • Raio interno ( a): 3 cm = 0,03 m
  • Raio externo ( b): 8 cm = 0,08 m
Substituindo na fórmula:
C' = 2 pi times 8,854 times 10^-12ln(0,080,03)

Passo 6

Vamos calcular o denominador primeiro:
ln(0,080,03) = ln(83) approx ln(2,6667) approx 0,9808

Passo 7

Agora, calculamos o numerador:
2 pi times 8,854 times 10^-12 approx 2 times 3,1416 times 8,854 times 10^-12 approx 55,63 times 10^-12

Passo 8

Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar C':
C' = 55,63 times 10^-120,9808 approx 56,75 times 10^-12, F/m

Resposta

A capacitância por unidade de comprimento do capacitor coaxial é aproximadamente 56,75 times 10^-12, F/m.

Exercícios relacionados