Construa um IC para a média com confiança de
considerando a distribuição amostral abaixo:
Classes
2
3
5
2
Classes |
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2 |
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3 |
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5 |
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2 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir um intervalo de confiança de 95% para a média, usando a distribuição amostral que foi passada na tabela. Isso envolve estatística descritiva e inferencial, basicamente vamos calcular a média e o desvio padrão a partir dos dados agrupados e, com isso, determinar o intervalo onde a média verdadeira provavelmente está.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos médios de cada classe. O ponto médio é a média entre os limites inferior e superior de cada classe. Isso ajuda a representar os dados agrupados com um único valor por classe.
Então, para cada classe:
-
: -
: -
: -
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a média amostral (
) usando os pontos médios e as frequências. A fórmula é:
Onde
são as frequências e
são os pontos médios.
Aplicando os valores:
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o desvio padrão (
). Primeiro, encontramos a variância, que é a média dos quadrados das diferenças entre cada ponto médio e a média amostral, ponderada pelas frequências. A fórmula é:
Calculando cada termo:
Multiplicando pelas frequências:
Então,
E o desvio padrão:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média (
). Esse valor nos diz quanto a média amostral pode variar. A fórmula é:
Onde
é o tamanho da amostra.
Passo 6
Para construir o intervalo de confiança de 95%, usamos a distribuição t de Student, já que o tamanho da amostra é pequeno (n = 12) e não conhecemos o desvio padrão da população.
Primeiro, encontramos o valor crítico t para 95% de confiança e 11 graus de liberdade (n - 1). Consultando a tabela t, para 95% de confiança e 11 df, $ t_{crítico} \approx 2.201 $.
Passo 7
Finalmente, calculamos o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Isso resulta em:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a média é aproximadamente de 7.27 a 13.57.