Construa um IC para a média com confiança de 95 % considerando a distribuição amostral abaixo:
Classes c|c hline Classes & $ni$ hline $0-5$ & 2 $5-10$ & 3 $10-15$ & 5 $15-20$ & 2 hline
2
3
5
2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir um intervalo de confiança de 95% para a média, usando a distribuição amostral que foi passada na tabela. Isso envolve estatística descritiva e inferencial, basicamente vamos calcular a média e o desvio padrão a partir dos dados agrupados e, com isso, determinar o intervalo onde a média verdadeira provavelmente está.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos médios de cada classe. O ponto médio é a média entre os limites inferior e superior de cada classe. Isso ajuda a representar os dados agrupados com um único valor por classe.
Então, para cada classe:
  • 0-5: 0 + 52 = 2.5
  • 5-10: 5 + 102 = 7.5
  • 10-15: 10 + 152 = 12.5
  • 15-20: 15 + 202 = 17.5

Passo 3

Agora, vamos calcular a média amostral ( barx) usando os pontos médios e as frequências. A fórmula é:
barx = sum (fi cdot xi)sum fi
Onde fi são as frequências e xi são os pontos médios.
Aplicando os valores:
barx = (2 cdot 2.5) + (3 cdot 7.5) + (5 cdot 12.5) + (2 cdot 17.5)2 + 3 + 5 + 2 = 5 + 22.5 + 62.5 + 3512 = 12512 approx 10.42

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o desvio padrão ( s). Primeiro, encontramos a variância, que é a média dos quadrados das diferenças entre cada ponto médio e a média amostral, ponderada pelas frequências. A fórmula é:
s^2 = sum fi (xi - barx)^2n - 1
Calculando cada termo:
(2.5 - 10.42)^2 &approx 62.89 (7.5 - 10.42)^2 &approx 8.53 (12.5 - 10.42)^2 &approx 4.16 (17.5 - 10.42)^2 &approx 49.00
Multiplicando pelas frequências:
sum fi (xi - barx)^2 approx (2 cdot 62.89) + (3 cdot 8.53) + (5 cdot 4.16) + (2 cdot 49.00) = 125.78 + 25.59 + 20.80 + 98.00 = 269.17
Então,
s^2 = 269.1712 - 1 approx 269.1711 approx 24.47
E o desvio padrão:
s approx raiz24.47 approx 4.947

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média ( SE). Esse valor nos diz quanto a média amostral pode variar. A fórmula é:
SE = sraizn
Onde n é o tamanho da amostra.
SE = 4.947raiz12 approx 4.9473.464 approx 1.430

Passo 6

Para construir o intervalo de confiança de 95%, usamos a distribuição t de Student, já que o tamanho da amostra é pequeno (n = 12) e não conhecemos o desvio padrão da população.
Primeiro, encontramos o valor crítico t para 95% de confiança e 11 graus de liberdade (n - 1). Consultando a tabela t, para 95% de confiança e 11 df, $ t_{crítico} \approx 2.201 $.

Passo 7

Finalmente, calculamos o intervalo de confiança usando a fórmula:
IC = barx pm tcrítico cdot SE í
Substituindo os valores:
IC = 10.42 pm 2.201 cdot 1.430 approx 10.42 pm 3.146
Isso resulta em:
IC approx (7.27, 13.57)

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média é aproximadamente de 7.27 a 13.57.

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