(Problema 24 - item c) Um pesquisador está estudando a resistência de um determinado material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com desvio padrão de duas unidades.
a) Utilizando os valores 4, 9 ; 7,0 ; 8,1 ; 4,5 ; 5,6 ; 6,8 ; 7,2 ; 5,7 ; 6,2 unidades, obtidos de uma amostra de tamanho 9 , determine o intervalo de confiança para a resistência média com um coeficiente de confiança gamma=0,90.
b) Qual o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido, ao estimarmos a resistência média, não seja superior a 0 , 0 1 unidade com probabilidade 0 , 9 0 ?
c) Suponha que no item (a) não fosse conhecido o desvio padrão. Como você procederia para determinar o intervalo de confiança, e que suposições você faria para isso?

Passo 1

Beleza, o item © pergunta: “Se a gente não soubesse o desvio-padrão σ da população, como montaríamos o intervalo de confiança da média e quais suposições faríamos?”
Conteúdo: estatística inferencial, intervalo de confiança para média com σ desconhecido.
O que vamos precisar:
  • A média amostral
  • O desvio-padrão amostral
  • A distribuição de Student (graus de liberdade )
  • Valor crítico para o nível de confiança desejado

Passo 2

Quando σ é desconhecido, não usamos mais a distribuição normal padrão s = raiz1n-1sumi=1^n (xi - bar x)^2 , e sim a distribuição tn-1,,1+gamma2 de Student.
Teoria:
  1. A média amostral continua sendo nosso melhor estimador da média verdadeira .
  2. Como não sabemos σ, estimamos o erro padrão por , onde
  3. O quantil crítico passa a ser da distribuição t com graus de liberdade.

Passo 3

Montamos então o intervalo de confiança de nível bar x ;pm; tn-1,,1+gamma2;sraizn assim:
Em palavras: “a média amostral ± (t-crítico × erro padrão amostral)”.

Passo 4

Suposições necessárias para usar esse intervalo:
  1. A amostra é retirada de uma população aproximadamente normal;
  2. As observações são independentes;
  3. não precisa ser tão grande se a normalidade for razoável.

Resposta

Para σ desconhecido, usamos a distribuição t de Student e o intervalo de confiança fica:
boxed [, bar x ;-; tn-1,,1+gamma2;sraizn ;,; bar x ;+; tn-1,,1+gamma2;sraizn ]
com suposições de normalidade da população e independência das observações.

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