Uma urna contém 2 bolinhas vermelhas, 1 bolinha azul e 2 bolinhas verdes. Bolinhas são retiradas sucessivamente, sem reposição, até que a primeira bolinha verde seja retirada. Defina o vetor aleatório W=(W1, W2), onde W1 é o número de bolinhas vermelhas retiradas antes da primeira bolinha verde, e W2 é o número de bolinhas azuis retiradas antes da primeira bolinha verde.
(d) Calcule a Var(W2 mid W1=2).

Passo 1

Então, o que o enunciado pede? Temos uma urna com 2 bolas vermelhas, 1 azul e 2 verdes. Vamos tirar bolas sem repor até aparecer a primeira verde. Definimos o vetor aleatório
W=(W1,W2),
onde
  • = número de vermelhas antes da primeira verde,
  • = número de azuis antes da primeira verde.
A parte (d) pede a variância de dado que já sabemos que . Ou seja, .
Conteúdo da matéria: probabilidade condicional, variância de variável discreta. Vamos precisar:
  1. Calcular para .
  2. Usar .

Passo 2

Vamos achar P(R,R,Verde) = 25cdot14cdot23 = 115 e 15cdot24cdot13cdot1 = 130, .
a) Caso P(W1=2,W2=1)=3cdot130=110 e P(W1=2)=115+110=16 : antes da primeira verde (que surge no 3º sorteio) tiramos 2 vermelhas.
P(W2=0mid W1=2) =(1/15)(1/6)=615=25, P(W2=1mid W1=2)=35
b) Caso e : antes da primeira verde (que surge no 4º sorteio) tiramos 2 vermelhas e 1 azul, em qualquer ordem nos 3 primeiros sorteios. Há 3 posições possíveis para o azul, cada caminho tem probabilidade
e somando as 3 ordens dá
Então
Logo as condicionais:

Passo 3

Agora E[W2mid W1=2] =0cdot25+1cdot35=35, é uma variável que vale 0 com prob. E[W2^2mid W1=2] =0^2cdot25+1^2cdot35=35 e 1 com prob. .
Calcula e :

Passo 4

Usando Var(W2mid W1=2) =35-l(35r)^2 =35l(1-35r) =35cdot25 =625 :

Resposta

boxedVar(W2mid W1=2)=625

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