Colhida uma amostra de 30 peças, forneceu os seguintes pesos:
Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se esta amostra satisfaz a expectativa pela qual o peso médio deve ser 300 Kg .
Sugestão: Adote uma confiança de
.
Sugestão: Adote uma confiança de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma amostra de 30 peças com seus respectivos pesos. A gente precisa verificar se essa amostra confirma a expectativa de que o peso médio dessas peças é 300 kg. Para isso, vamos construir um intervalo de confiança de 95%. Isso significa que queremos ter 95% de certeza de que o peso médio real está dentro desse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística como média, desvio padrão e o cálculo do intervalo de confiança utilizando a distribuição t de Student, já que trabalhamos com uma amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média (
) dos pesos da amostra. A média é a soma de todos os pesos dividida pelo número de peças. Vamos somar todos os valores:
Calculando isso, a soma total é 8.599 kg. Dividindo pelo número de peças (30):
Passo 3
Agora, precisamos calcular o desvio padrão (
) da amostra, que nos indica quanto os pesos variam em torno da média. A fórmula para o desvio padrão amostral é:
Onde
são os pesos individuais e
é o número de peças. Vamos calcular cada diferença
, elevar ao quadrado, somar tudo e depois dividir por
(29 neste caso).
Após realizar esses cálculos, obtemos:
Passo 4
Com a média e o desvio padrão em mãos, podemos construir o intervalo de confiança. Como o tamanho da amostra é 30 e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student. O nível de confiança é 95%, então precisamos encontrar o valor crítico
para 29 graus de liberdade.
Consultando uma tabela de t, encontramos que
para 29 graus de liberdade é aproximadamente 2,045.
Passo 5
Agora, usamos a fórmula do intervalo de confiança:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos
.
Então:
Ou seja:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para o peso médio das peças é de aproximadamente 276,15 kg a 297,11 kg. Como 300 kg não está dentro desse intervalo, a amostra não satisfaz a expectativa de que o peso médio seja 300 kg.