Colhida uma amostra de 30 peças, forneceu os seguintes pesos:
& 250,265,267,269,271,275,277,281,283,284, & 287,289,291,293,293,298,301,303,306,307, & 307,309,311,315,319,322,324,328,335,339
Por meio da construção do intervalo de confiança, responder se esta amostra satisfaz a expectativa pela qual o peso médio deve ser 300 Kg .
Sugestão: Adote uma confiança de 95 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma amostra de 30 peças com seus respectivos pesos. A gente precisa verificar se essa amostra confirma a expectativa de que o peso médio dessas peças é 300 kg. Para isso, vamos construir um intervalo de confiança de 95%. Isso significa que queremos ter 95% de certeza de que o peso médio real está dentro desse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística como média, desvio padrão e o cálculo do intervalo de confiança utilizando a distribuição t de Student, já que trabalhamos com uma amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média ( barx) dos pesos da amostra. A média é a soma de todos os pesos dividida pelo número de peças. Vamos somar todos os valores:
250 + 265 + 267 + 269 + 271 + 275 + 277 + 281 + 283 + 284 + 287 + 289 + 291 + 293 + 293 + 298 + 301 + 303 + 306 + 307 + 307 + 309 + 311 + 315 + 319 + 322 + 324 + 328 + 335 + 339
Calculando isso, a soma total é 8.599 kg. Dividindo pelo número de peças (30):
barx = 859930 approx 286,63 kg

Passo 3

Agora, precisamos calcular o desvio padrão ( s) da amostra, que nos indica quanto os pesos variam em torno da média. A fórmula para o desvio padrão amostral é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Onde xi são os pesos individuais e n é o número de peças. Vamos calcular cada diferença xi - barx, elevar ao quadrado, somar tudo e depois dividir por n-1 (29 neste caso).
Após realizar esses cálculos, obtemos:
s approx 28,13 kg

Passo 4

Com a média e o desvio padrão em mãos, podemos construir o intervalo de confiança. Como o tamanho da amostra é 30 e não conhecemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student. O nível de confiança é 95%, então precisamos encontrar o valor crítico talpha/2 para 29 graus de liberdade.
Consultando uma tabela de t, encontramos que t0,025 para 29 graus de liberdade é aproximadamente 2,045.

Passo 5

Agora, usamos a fórmula do intervalo de confiança:
IC = barx pm talpha/2 times sraizn
Substituindo os valores:
IC = 286,63 pm 2,045 times 28,13raiz30
Primeiro, calculamos 28,13raiz30 approx 5,14.
Então:
IC = 286,63 pm 2,045 times 5,14 approx 286,63 pm 10,48
Ou seja:
IC approx [276,15 kg, 297,11 kg]

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o peso médio das peças é de aproximadamente 276,15 kg a 297,11 kg. Como 300 kg não está dentro desse intervalo, a amostra não satisfaz a expectativa de que o peso médio seja 300 kg.

Exercícios relacionados