Construa o modelo de Programação Linear do problema a seguir:
Certa firma processa dois tipos de fibra sintética ( A e B ) usando as mesmas máquinas. No departamento responsável pela mistura de ingredientes, que dispõe de 200 horas por mês, a produção é limitada por 2 horas por tonelada da fibra A e 4 horas por tonelada da fibra B. No departamento responsável pela embalagem as necessidades são 6 horas por tonelada da fibra A e 8 horas para a fibra B, com um total máximo de 480 horas disponível de máquinas por mês. Para o departamento responsável pelo corte das fibras, as necessidades são 10 e 6 horas por toneladas das fibras A e B, respectivamente. Esse departamento dispõe de apenas 600 horas de máquinas por mês. Outros departamentos limitam a produção de fibra B a um máximo de 35 toneladas por mês. O lucro é de R$ 8,00 por tonelada para a fibra A e R 10,00 para a fibra B. A firma deseja determinar as quantidades mensais de fibras A e B que devem ser produzidas de forma a maximizar os lucros.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de Programação Linear em que uma firma processa dois tipos de fibra sintética (A e B) para maximizar o lucro mensal, sujeito a limitações de horas-máquina em três departamentos e a um limite de mercado para a fibra B. Vamos definir variáveis de produção, montar a função objetivo (lucro) e expressar as restrições de capacidade e de mercado.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão: x_A = toneladas de fibra A produzidas por mês x_B = toneladas de fibra B produzidas por mês

Passo 3

A função objetivo traduz o lucro total, sendo R$8,00 por tonelada de A e R$ 10,00 por tonelada de B:
\max Z = 8\,x_A + 10\,x_B

Passo 4

As restrições de capacidade nos departamentos são:
Departamento de mistura (200 h/mês; 2 h/t de A, 4 h/t de B)
2\,x_A + 4\,x_B \le 200
Departamento de embalagem (480 h/mês; 6 h/t de A, 8 h/t de B)
6\,x_A + 8\,x_B \le 480
Departamento de corte (600 h/mês; 10 h/t de A, 6 h/t de B)
10\,x_A + 6\,x_B \le 600

Passo 5

A restrição de mercado para B e a não-negatividade são:
Limite de demanda para fibra B (máx. 35 t/mês)
x_B \le 35
Não-negatividade
x_A \ge 0,\quad x_B \ge 0

Resposta

O modelo de Programação Linear é:
Maximizar
Z = 8\,x_A + 10\,x_B
sujeito a
2\,x_A + 4\,x_B \le 200
6\,x_A + 8\,x_B \le 480
10\,x_A + 6\,x_B \le 600
x_B \le 35
x_A \ge 0,\quad x_B \ge 0

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