Construa o modelo de Programação Linear do problema a seguir:
Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R 120,00 por unidade e P2, R 150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos. Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa?
Produto Recurso R1 por unidade Recurso R2 por unidade Recurso R3 por unidade
P1 1 1 1
P2 3 3 1
Disponibilidade de recursos por mês 100 90 120

Passo 1

O problema é de modelagem em Programação Linear: decidir quantas unidades dos produtos P1 e P2 produzir para maximizar o lucro total, dado que há disponibilidade limitada dos recursos R1, R2 e R3. Precisamos definir variáveis de decisão, montar a função objetivo (lucro) e impor as restrições de consumo de cada recurso.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão: x_{1} = número de unidades de P1 produzidas por mês x_{2} = número de unidades de P2 produzidas por mês

Passo 3

A função objetivo é maximizar o lucro total, sabendo que cada unidade de P1 gera R$120 e cada unidade de P2 gera R$ 150:
\max Z \;=\; 120\,x_{1} \;+\; 150\,x_{2}

Passo 4

As restrições de recursos vêm do consumo por unidade de produto e da disponibilidade mensal:
Para o recurso R1 (disponível 100 unidades):
1\,x_{1} + 3\,x_{2} \;\le\; 100
Para o recurso R2 (disponível 90 unidades):
1\,x_{1} + 3\,x_{2} \;\le\; 90
Para o recurso R3 (disponível 120 unidades):
1\,x_{1} + 1\,x_{2} \;\le\; 120

Passo 5

Impor a não negatividade das variáveis:
x_{1} \ge 0, \quad x_{2} \ge 0

Resposta

O modelo de Programação Linear fica:
\begin{aligned} \max\quad & Z = 120\,x_{1} + 150\,x_{2} \\\ \text{sujeito a}\quad & x_{1} + 3\,x_{2} \le 100,\\\ & x_{1} + 3\,x_{2} \le 90,\\\ & x_{1} + x_{2} \le 120,\\\ & x_{1} \ge 0,\quad x_{2} \ge 0. \end{aligned}

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