Construa o modelo de Programação Linear do problema a seguir:
Um fazendeiro que dispõe de 24.000 \mathrm{~m}^{3} de água e de 240 jornadas de trabalho, tem possibilidade de cultivar batata, amendoim, milho e tomate. Interessa a ele maximizar a sua renda pela utilização dos fatores água e trabalho. Sabendo-se que as pretensas atividades possuem as características estabelecidas na tabela abaixo, determinar o plano de renda máxima.
Atividade Unidade Água \left(\mathrm{m}^{3}\right) Trabalho (h/d) Renda Bruta(R$)
Batata ha 6.000 25 600,00
Amendoim ha 5.000 40 1.200,00
Milho ha 5.000 10 250,00
Tomate ha 10.000 120 3.200,00

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um fazendeiro que quer decidir quantos hectares cultivar de batata, amendoim, milho e tomate de modo a maximizar a renda, sujeito a restrições de disponibilidade de água ( 24\,000, m^{3}) e de trabalho (240 jornadas). O conteúdo é formulação de um modelo de Programação Linear.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão como as áreas (em hectares) destinadas a cada cultura: x_{1}: área de batata x_{2}: área de amendoim x_{3}: área de milho x_{4}: área de tomate

Passo 3

A função-objetivo é a renda bruta total a maximizar:
\text{Maximize}\;Z = 600\,x_{1} + 1200\,x_{2} + 250\,x_{3} + 3200\,x_{4}

Passo 4

As restrições de recursos são:
6000\,x_{1} + 5000\,x_{2} + 5000\,x_{3} + 10000\,x_{4} \le 24000
25\,x_{1} + 40\,x_{2} + 10\,x_{3} + 120\,x_{4} \le 240

Passo 5

As variáveis não podem ser negativas:
x_{1} \ge 0,\quad x_{2} \ge 0,\quad x_{3} \ge 0,\quad x_{4} \ge 0

Resposta

\begin{aligned} \text{Maximize}\quad &Z = 600\,x_{1} + 1200\,x_{2} + 250\,x_{3} + 3200\,x_{4},\\\ \text{subject to}\quad &6000\,x_{1} + 5000\,x_{2} + 5000\,x_{3} + 10000\,x_{4} \le 24000,\\\ &25\,x_{1} + 40\,x_{2} + 10\,x_{3} + 120\,x_{4} \le 240,\\\ &x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4} \ge 0. \end{aligned}

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