Construa, no mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções
f(x)=-x^22+x2+1 e g(x)=-x+12
Ainda no mesmo plano cartesiano trace as retas que tenham x0=-1 como coeficiente angular e passe pelos pontos x0=0, onde:
(a) x0=1 / 2,
(b) x0=1,
© x0=2,
(d) ,
(e) .

Passo 1

O enunciado pede para construir no mesmo plano cartesiano a parábola f(x)=-tfracx^22+tfracx2+1 e a reta g(x)=-x+tfrac12, e depois traçar, para cada x0 dado, a reta de coeficiente angular g(x0) que passe pelo ponto P=(x0,f(x0)). Vamos usar teoria de gráficos de funções polinomiais e a fórmula da reta que passa por um ponto com dado coeficiente angular.

Passo 2

Para desenhar f(x), note que é uma parábola com concavidade para baixo (coeficiente de x^2 negativo). O vértice está em xv=-tfracb2a=-tfractfrac122(-tfrac12)=tfrac12 e f(tfrac12)=tfrac98. As raízes podem ser obtidas resolvendo -tfracx^22+tfracx2+1=0. Para g(x), é uma reta de coef angular -1 e intercepto y=tfrac12. Basta marcar alguns pontos (por exemplo (0,tfrac12) e (tfrac12,0)) e traçar.

Passo 3

Para cada x0in-1,0,tfrac12,1,2 calculamos o coeficiente angular m=g(x0) e o ponto P=(x0,f(x0)). Em seguida usamos a fórmula da reta que passa por (x0,f(x0)) com coeficiente angular m:
y - f(x0) = g(x0),(x - x0)

Passo 4

Substituindo em cada caso obtemos as equações abaixo.

Resposta

As equações das retas solicitadas são:
(a) Para x0=-1: y=tfrac32x+tfrac32.
(b) Para x0=0: y=tfrac12x+1.
© Para x0=tfrac12: y=tfrac98 (reta horizontal).
(d) Para x0=1: y=-tfrac12x+tfrac32.
(e) Para x0=2: y=-tfrac32x+3.

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