(a) Disponha no ciclo trigonométrico os pontos Ptheta=(cos theta, sin theta), para cada um dos ângulos theta a seguir
0, pi6, pi4, pi3, pi2, 2 pi3, 3 pi4, 5 pi6, pi, 7 pi6, 5 pi4, 4 pi3, 3 pi2, 5 pi3, 7 pi4, 11 pi6, 2 pi
(b) Construa uma tabela que contenha os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos abaixo.
0, pi6, pi4, pi3, pi2, 2 pi3, 3 pi4, 5 pi6, pi, 3 pi2, 2 pi

Passo 1

A questão quer que a gente coloque, no círculo trigonométrico de raio 1, os pontos
Ptheta = (costheta,sintheta)\n
para uma coleção de ângulos especiais, e depois monte uma tabelinha com seno, cosseno e tangente de alguns desses mesmos ângulos. Vamos usar todo o nosso conhecimento sobre o círculo unitário, valores exatos de seno e cosseno nos ângulos notáveis e as simetrias entre quadrantes.

Passo 2

Antes de sair listando coordenadas, lembre que no círculo de raio 1 valem as seguintes ideias:
  • Para ângulos de primeiro quadrante (entre 0 e tfracpi2) usamos direto os valores conhecidos: 0, tfracpi6, tfracpi4, tfracpi3, tfracpi2.
  • Nos outros quadrantes a gente “espelha” esses valores e muda sinal conforme o eixo:
    • Segundo quadrante (entre tfracpi2 e pi): cosseno negativo, seno positivo.
    • Terceiro (entre pi e tfrac3pi2): cosseno e seno negativos.
    • Quarto (entre tfrac3pi2 e 2pi): cosseno positivo, seno negativo.
  • A tangente é simplesmente tantheta = dfracsinthetacostheta, mas cuidado: é indefinida onde costheta=0.

Passo 3

Agora, vamos anotar as coordenadas de cada ponto pedido em (a). Para cada ângulo theta usamos (costheta,sintheta):
P0 &= (1,0), Ppi/6 &= l(tfracraiz32,tfrac12r), Ppi/4 &= l(tfracraiz22,tfracraiz22r), Ppi/3 &= l(tfrac12,tfracraiz32r), Ppi/2 &= (0,1), P2pi/3 &= l(-tfrac12,tfracraiz32r), P3pi/4 &= l(-tfracraiz22,tfracraiz22r), P5pi/6 &= l(-tfracraiz32,tfrac12r), Ppi &= (-1,0), P7pi/6 &= l(-tfracraiz32,-tfrac12r), P5pi/4 &= l(-tfracraiz22,-tfracraiz22r), P4pi/3 &= l(-tfrac12,-tfracraiz32r), P3pi/2 &= (0,-1), P5pi/3 &= l(tfrac12,-tfracraiz32r), P7pi/4 &= l(tfracraiz22,-tfracraiz22r), P11pi/6 &= l(tfracraiz32,-tfrac12r), P2pi &= (1,0)

Passo 4

Para (b), construímos a tabelinha com sin, cos e tan nos ângulos fornecidos. Lembre que onde costheta=0 a tangente é indefinida:
c|ccc theta & sintheta & costheta & tantheta hline 0 & 0 & 1 & 0 tfracpi6 & tfrac12 & tfracraiz32 & tfrac1raiz3 tfracpi4 & tfracraiz22 & tfracraiz22 & 1 tfracpi3 & tfracraiz32 & tfrac12 & raiz3 tfracpi2 & 1 & 0 & indefinida 2tfracpi3 & tfracraiz32 & -tfrac12 & -raiz3 3tfracpi4 & tfracraiz22 & -tfracraiz22 & -1 5tfracpi6 & tfrac12 & -tfracraiz32 & -tfrac1raiz3 pi & 0 & -1 & 0 3tfracpi2 & -1 & 0 & indefinida 2pi & 0 & 1 & 0

Passo 5

Com isso a gente conclui tanto o posicionamento dos pontos no círculo quanto a tabela de funções trigonométricas nos ângulos pedidos.

Resposta

a) Pontos no círculo trigonométrico de raio 1:
P0 &= (1,0), Ppi/6 &= l(tfracraiz32,tfrac12r), Ppi/4 &= l(tfracraiz22,tfracraiz22r), Ppi/3 &= l(tfrac12,tfracraiz32r), Ppi/2 &= (0,1), P2pi/3 &= l(-tfrac12,tfracraiz32r), P3pi/4 &= l(-tfracraiz22,tfracraiz22r), P5pi/6 &= l(-tfracraiz32,tfrac12r), Ppi &= (-1,0), P7pi/6 &= l(-tfracraiz32,-tfrac12r), P5pi/4 &= l(-tfracraiz22,-tfracraiz22r), P4pi/3 &= l(-tfrac12,-tfracraiz32r), P3pi/2 &= (0,-1), P5pi/3 &= l(tfrac12,-tfracraiz32r), P7pi/4 &= l(tfracraiz22,-tfracraiz22r), P11pi/6 &= l(tfracraiz32,-tfrac12r), P2pi &= (1,0)
b) Tabela de sin, cos e tan:
c|ccc theta & sintheta & costheta & tantheta hline 0 & 0 & 1 & 0 tfracpi6 & tfrac12 & tfracraiz32 & tfrac1raiz3 tfracpi4 & tfracraiz22 & tfracraiz22 & 1 tfracpi3 & tfracraiz32 & tfrac12 & raiz3 tfracpi2 & 1 & 0 & indefinida 2tfracpi3 & tfracraiz32 & -tfrac12 & -raiz3 3tfracpi4 & tfracraiz22 & -tfracraiz22 & -1 5tfracpi6 & tfrac12 & -tfracraiz32 & -tfrac1raiz3 pi & 0 & -1 & 0 3tfracpi2 & -1 & 0 & indefinida 2pi & 0 & 1 & 0

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