Construa psi2(x) para o oscilador harmônico.

Passo 1

Então, o exercício pede para “construir para o oscilador harmônico”. Isso faz parte de Mecânica Quântica, mais especificamente da resolução do oscilador harmônico unidimensional. Para resolver, a gente vai precisar:
  • Da forma geral da função de onda em termos dos polinômios de Hermite.
  • Do polinômio de Hermite .
  • Do fator de normalização , com .
A partir do passo 2 a gente vai realmente “colocar a mão na massa”.

Passo 2

Lembra da forma geral da função de onda estacionária para o nível psin(x) = Nn ; Hn!l(raizalpha,xr);e^-tfracalpha x^22 com Nn = l(tfracalphapir)^1/41raiz2^n,n! :
Aqui e é o polinômio de Hermite de ordem .

Passo 3

Agora, para H2(xi) = 4,xi^2 ;-; 2 , a gente vai precisar de:
  1. N2 = l(tfracalphapir)^1/4 1raiz2^2 cdot 2! = l(tfracalphapir)^1/4 1raiz4 cdot 2 = l(tfracalphapir)^1/412raiz2 .
  2. .
O polinômio de Hermite de ordem 2 é
E o fator de normalização fica

Passo 4

Agora é só montar psi2(x) = N2 ; H2(raizalpha,x); e^-tfracalpha x^22 = l(tfracalphapir)^1/412raiz2 l[,4(raizalpha,x)^2 - 2r], e^-tfracalpha x^22 , lembrando que 4(raizalpha,x)^2 - 2 = 4alpha x^2 - 2 :
Dá para simplificar o colchete:

Resposta

boxed psi2(x) = l(tfracalphapir)^!1/4,12raiz2 l(4alpha x^2 - 2r), e^-tfracalpha x^22, onde;alpha=momegahbar

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