Estados coerentes do oscilador harmônico. Entre os estados estacionários do oscilador harmônico |psinrang<=, somente |psi0rang<= atinge o limite da incerteza sigmax sigmap=hbar / 2; em geral, sigmax sigmap>hbar / 2. Porém certas combinações lineares (conhecidas como estados coerentes) também minimizam o produto da incerteza. Acontece que eles são autofunções do operador abaixamento:
a-|alpharang<==alpha|alpharang<=
(o autovalor alpha pode ser qualquer número complexo.)
O estado fundamental |psi0rang<= é um estado coerente? Se sim, qual é o autovalor?

Passo 1

Beleza, o enunciado está perguntando se o estado fundamental do oscilador harmônico, que a gente chama de a-lvertalpharang<= = alpha lvertalpharang<= , é um estado coerente. Lembra que estado coerente é aquele que satisfaz
para algum .
Conteúdo da matéria: operadores de criação/aniquilação no oscilador harmônico e estados coerentes.
O que a gente vai usar:
  1. A definição de estado coerente como autofunção do operador de aniquilação .
  2. A propriedade padrão de que o estado fundamental satisfaz .

Passo 2

Vamos lembrar a teoria:
  • No oscilador harmônico quântico, os operadores [a-,a+] = 1 (aniquilação) e a-lvertpsi0rang<= = 0 (criação) obedecem
  • O estado fundamental é definido pela condição
Isso significa que, quando você aplica o operador de aniquilação no estado base, o resultado é o vetor nulo.

Passo 3

Comparando com a definição de estado coerente, basta ver que
a-lvertpsi0rang<= = 0 ;longrightarrow; a-lvertpsi0rang<= = alphalvertpsi0rang<=
se tivermos . Portanto, satisfaz exatamente a equação de estado coerente com .

Resposta

Sim, o estado fundamental alpha = 0 é um estado coerente, e o autovalor correspondente é

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