1. Construa um quadrado onde a diferença entre a diagonal e lado seja \mathrm{D}=2 \mathrm{~m} na escala de 1:100

Passo 1

O enunciado pede a construção, em escala 1:100, de um quadrado cuja diferença entre a diagonal e o lado valha \mathrm{D}=2 m na realidade. Vamos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar lado e diagonal de um quadrado e depois aplicar a escala para trabalhar com as medidas no papel. Em seguida faremos a construção geométrica com régua e compasso.

Passo 2

Seja a o lado do quadrado (na realidade) e d a sua diagonal. Pelo Teorema de Pitágoras temos
d = a\sqrt{2}.
O enunciado diz
d - a = D = 2\text{ m},
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a(\sqrt{2}-1)=2 \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{2}{\sqrt{2}-1} =2(\sqrt{2}+1).

Passo 3

Na escala 1:100 cada metro na realidade vira 1 cm no desenho. Portanto
D'=\frac{2\text{ m}}{100}=2\text{ cm}
e o lado no desenho vale
a'=\frac{a}{100} =2(\sqrt{2}+1)\,\text{cm}.
Também a diagonal no desenho será
d' = a'\sqrt{2} =2(\sqrt{2}+1)\sqrt{2}\,\text{cm} =2(2+\sqrt{2})\,\text{cm}.

Passo 4

Construção do segmento a' (lado do quadrado no desenho):
  1. Desenha o segmento AB de comprimento 2 cm (representa D').
  2. Em A, traça a reta perpendicular a AB e marca sobre ela AC=AB=2 cm.
  3. Une B a C; o segmento BC mede 2\sqrt{2} cm, pois é a hipotenusa de um triângulo isósceles retângulo de catetos 2 cm.
  4. Sobre a reta BC estende além de C o segmento CD de comprimento CD=AB=2 cm.
  5. O ponto D assim construído faz com que
BD = BC + CD = 2\sqrt{2} + 2 = 2(\sqrt{2}+1)\,\text{cm},
que é exatamente a'.

Passo 5

Construção do quadrado de lado BD:
  1. Pelo ponto B, traça a reta r perpendicular a BD e, com compasso, leva a abertura BD e marca em r o ponto E tal que BE=BD.
  2. Pelo ponto D, traça a reta s perpendicular a BD.
  3. A partir de E, traça a reta paralela a BD.
  4. A interseção de s com essa paralela a BD é o quarto vértice F.
Assim BDEF é o quadrado desejado.

Resposta

O lado do quadrado no desenho mede
a'=2(\sqrt{2}+1)\,\text{cm}\approx4,828\text{ cm},
e a diagonal mede
d'=2(2+\sqrt{2})\,\text{cm}\approx6,828\text{ cm},
de modo que d'-a'=2 cm, correspondendo a 2 m na escala 1:100.

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