Construa um quadro e o gráfico de uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória X: número de coroas obtidas no lançamento de duas moedas honestas com duas faces.

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas:
  • Pede construir um quadro (tabela) e o gráfico da distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
  • A variável X = número de coroas obtidas ao lançar duas moedas honestas (cada moeda tem duas faces: cara e coroa).
  • Informação importante que pegamos do enunciado: as moedas são honestas (justas), ou seja, cada face de cada moeda tem probabilidade igual de ocorrer.

Passo 2

Listar o espaço amostral e explicar por que todos os resultados têm a mesma probabilidade.
  • Ao lançar duas moedas, os resultados possíveis (sequências) são: \{CC,\,CR,\,RC,\,RR\}, onde aqui uso C para “cara” e R para “coroa”. (Escolhi essas letras só para ficar curto.)
  • Como as moedas são honestas e os lançamentos são independentes, cada sequência tem probabilidade igual ao produto das probabilidades individuais:
    • a probabilidade de uma face numa moeda é \dfrac{1}{2};
    • portanto a probabilidade de uma sequência de duas faces é \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}.
  • Conclusão: cada um dos quatro resultados CC,CR,RC,RR ocorre com probabilidade \dfrac{1}{4}.

Passo 3

Determinar como cada resultado contribui para X (número de coroas) e calcular as probabilidades pedidas.
  • Contagem de coroas em cada sequência:
    • CC tem 0 coroas;
    • CR tem 1 coroa;
    • RC tem 1 coroa;
    • RR tem 2 coroas.
  • Eventos que dão X=0, X=1 e X=2:
    • \{X=0\} = \{CC\};
    • \{X=1\} = \{CR,\,RC\} (dois resultados distintos e mutuamente exclusivos);
    • \{X=2\} = \{RR\}.
  • Calcular probabilidades (usando que eventos disjuntos somam probabilidades):
    • P(X=0)=P(\{CC\})=\dfrac{1}{4}.
    • P(X=1)=P(\{CR\})+P(\{RC\})=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}.
    • P(X=2)=P(\{RR\})=\dfrac{1}{4}.
  • Verificação rápida (sanity check): somando as probabilidades \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=1,como deve ser.

Passo 4

Construir o quadro (tabela) da distribuição de probabilidade.
\begin{array}{c|c} x & P(X=x)\\\ \hline 0 & \dfrac{1}{4}\\[6pt] 1 & \dfrac{1}{2}\\[6pt] 2 & \dfrac{1}{4} \end{array}
Explicação breve de leitura da tabela: a primeira coluna mostra os valores possíveis de X (que são 0,1,2) e a segunda coluna mostra a probabilidade de cada um desses valores.]

Passo 5

Construir o gráfico (barras) da distribuição — instrução passo a passo e representação simples.
Como desenhar o gráfico de barras na prova (passo a passo):
  1. No eixo horizontal (eixo x) coloque os valores x=0,1,2.
  2. No eixo vertical (eixo das probabilidades) marque de 0 até 0,5 (ou até 1 se preferir). Pontos relevantes: 0,25 e 0,5.
  3. Para cada x desenhe uma barra com altura igual a P(X=x):
    • em x=0 desenhar barra até a altura 0,25 (ou \tfrac{1}{4});
    • em x=1 desenhar barra até a altura 0,5 (ou \tfrac{1}{2});
    • em x=2 desenhar barra até a altura 0,25 (ou \tfrac{1}{4}).
  4. Rotule cada barra com seu valor de probabilidade (por exemplo escrever P(X=0)=\tfrac{1}{4} sobre a barra de x=0, etc.).
Representação ASCII simples (cada bloco “■” representa 0,25 de probabilidade):
x | barras (cada ■ = 0,25) | probabilidade
\begin{array}{c|c|c} x & \text{barras} & P(X=x)\\\ \hline 0 & \blacksquare & \dfrac{1}{4}\\[3pt] 1 & \blacksquare\\ \blacksquare & \dfrac{1}{2}\\[3pt] 2 & \blacksquare & \dfrac{1}{4} \end{array}
Observação: se for desenhar à mão, cada barra deve ter a largura própria (separadas) e altura proporcional às probabilidades indicadas acima.]

Passo 6

Resumo e chequinho final — reforçando como usar isso em prova
  • Estratégia curta para prova: enumerar resultados equiprováveis, contar quantas coroas cada resultado dá, somar probabilidades dos resultados que levam ao mesmo X. Sempre verifique que as probabilidades somam 1.
  • Não esquece: para n moedas iguais, o mesmo raciocínio vale — mas aí aparece a combinação (quantas sequências têm exatamente k coroas). Aqui, com 2 moedas, a contagem foi simples (0, 2 ou 2 maneiras para 1 coroa).

Resposta

P(X=0)=\dfrac{1}{4}
P(X=1)=\dfrac{1}{2}
P(X=2)=\dfrac{1}{4}

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