Numa urna há 7 bolas brancas e 4 bolas verdes. Cinco bolas são extraídas dessa urna, sem reposição. Defina a v.a. \mathrm{X}= número de bolas verdes. Quais são os possíveis valores de X ? Calcule a probabilidade de X \geq 3 e a probabilidade de X=2.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Na urna há 7 bolas brancas e 4 bolas verdes, ou seja, 11 bolas no total.
  • São extraídas 5 bolas sem reposição.
  • Define-se a variável aleatória X = número de bolas verdes entre as 5 extraídas.
As perguntas que o enunciado faz:
  1. Quais são os possíveis valores que X pode assumir?
  2. Calcular a probabilidade \Pr(X \ge 3).
  3. Calcular a probabilidade \Pr(X = 2).

Passo 2

Entendendo como contar possibilidades (ideia básica de combinatória que usamos aqui).
  • Quando extraímos 5 bolas dentre 11 sem ordem, o número total de resultados igualmente prováveis é o número de combinações de 11 itens tomados 5 a 5, que se escreve \binom{11}{5}.
  • A fórmula de combinações é \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}, onde n! (fatorial) é n\cdot(n-1)\cdots1.
  • Vamos calcular \binom{11}{5} de maneira prática:
\binom{11}{5}=\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}
Agora simplificando:
\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{120}=\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{120}=462.
Portanto o espaço amostral tem 462 resultados possíveis.

Passo 3

Raciocínio para obter \Pr(X=k) (fórmula do modelo hipergeométrico):
  • Se queremos exatamente k bolas verdes nas 5 extraídas, devemos escolher k das 4 bolas verdes disponíveis e escolher as outras 5-k bolas entre as 7 brancas.
  • O número de maneiras de fazer isso é \binom{4}{k}\cdot\binom{7}{5-k}.
  • Portanto, para k admissível,
\Pr(X=k)=\frac{\binom{4}{k}\,\binom{7}{5-k}}{\binom{11}{5}}.
  • Importante: k não pode ser negativo nem maior que 4 (só há 4 verdes) e também não pode ser maior que 5 (estamos escolhendo 5 bolas). Além disso, é preciso que 5-k\le 7, mas isso aqui sempre ocorre para k\ge0. Assim os valores possíveis de k são
k\in\{0,1,2,3,4\}.

Passo 4

Cálculo de \Pr(X=3).
  • Pelo fórmula:
\Pr(X=3)=\frac{\binom{4}{3}\,\binom{7}{2}}{\binom{11}{5}}.
  • Calcule os combinatórios:
\binom{4}{3}=4,\qquad \binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21.
  • Logo o numerador é 4\cdot21=84 e o denominador é 462. Assim
\Pr(X=3)=\frac{84}{462}.
  • Simplificando a fração: dividir numerador e denominador por 42 (ou notar que 84/462=2/11):
\Pr(X=3)=\frac{2}{11}.

Passo 5

Cálculo de \Pr(X=4).
  • Pela fórmula:
\Pr(X=4)=\frac{\binom{4}{4}\,\binom{7}{1}}{\binom{11}{5}}.
  • Calcule:
\binom{4}{4}=1,\qquad \binom{7}{1}=7.
  • Então
\Pr(X=4)=\frac{7}{462}.
  • Simplificando por 7:
\Pr(X=4)=\frac{1}{66}.

Passo 6

Cálculo de \Pr(X\ge 3).
  • Como X só pode ser 0,1,2,3,4, temos
\Pr(X\ge 3)=\Pr(X=3)+\Pr(X=4).
  • Substituindo os valores já obtidos:
\Pr(X\ge 3)=\frac{2}{11}+\frac{1}{66}.
  • Para somar, colocar em denominador comum 66:
\frac{2}{11}=\frac{12}{66},
logo
\Pr(X\ge 3)=\frac{12}{66}+\frac{1}{66}=\frac{13}{66}.

Passo 7

Cálculo de \Pr(X=2).
  • Pela fórmula:
\Pr(X=2)=\frac{\binom{4}{2}\,\binom{7}{3}}{\binom{11}{5}}.
  • Calcule os combinatórios:
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2}=6,\qquad \binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35.
  • Numerador: 6\cdot35=210. Então
\Pr(X=2)=\frac{210}{462}.
  • Simplificando: dividir por 21 \dfrac{10}{22}=\dfrac{5}{11}. Portanto
\Pr(X=2)=\frac{5}{11}.

Passo 8

Resumo numérico rápido (para intuir):
  • \Pr(X\ge 3)=\dfrac{13}{66}\approx0{,}19697 (cerca de 19{,}7\%).
  • \Pr(X=2)=\dfrac{5}{11}\approx0{,}4545 (cerca de 45{,}5\%).
Força aí — você já tem a receita pronta (hipergeométrica) e os cálculos. Na prova: escreva a fórmula \Pr(X=k)=\dfrac{\binom{4}{k}\binom{7}{5-k}}{\binom{11}{5}}, informe o intervalo de k e faça as contas como fizemos.

Resposta

Valores possíveis: 0,1,2,3,4
\Pr(X \ge 3)=\dfrac{13}{66}
\Pr(X = 2)=\dfrac{5}{11}

Exercícios relacionados