Numa urna há 7 bolas brancas e 4 bolas verdes. Cinco bolas são extraídas dessa urna, sem reposição. Defina a v.a.
número de bolas verdes. Quais são os possíveis valores de X ? Calcule a probabilidade de
e a probabilidade de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Na urna há
bolas brancas e bolas verdes, ou seja, bolas no total. - São extraídas
bolas sem reposição. - Define-se a variável aleatória
= número de bolas verdes entre as extraídas.
As perguntas que o enunciado faz:
- Quais são os possíveis valores que
pode assumir? - Calcular a probabilidade
. - Calcular a probabilidade
.
Passo 2
Entendendo como contar possibilidades (ideia básica de combinatória que usamos aqui).
- Quando extraímos
bolas dentre sem ordem, o número total de resultados igualmente prováveis é o número de combinações de itens tomados a , que se escreve . - A fórmula de combinações é
, onde (fatorial) é . - Vamos calcular
de maneira prática:
Agora simplificando:
Portanto o espaço amostral tem
resultados possíveis.
Passo 3
Raciocínio para obter
(fórmula do modelo hipergeométrico):
- Se queremos exatamente
bolas verdes nas extraídas, devemos escolher das bolas verdes disponíveis e escolher as outras bolas entre as brancas. - O número de maneiras de fazer isso é
. - Portanto, para
admissível,
- Importante:
não pode ser negativo nem maior que (só há verdes) e também não pode ser maior que (estamos escolhendo bolas). Além disso, é preciso que , mas isso aqui sempre ocorre para . Assim os valores possíveis de são
Passo 4
Cálculo de
.
- Pelo fórmula:
- Calcule os combinatórios:
- Logo o numerador é
e o denominador é . Assim
- Simplificando a fração: dividir numerador e denominador por
(ou notar que ):
Passo 5
Cálculo de
.
- Pela fórmula:
- Calcule:
- Então
- Simplificando por
:
Passo 6
Cálculo de
.
- Como
só pode ser , temos
- Substituindo os valores já obtidos:
- Para somar, colocar em denominador comum
:
logo
Passo 7
Cálculo de
.
- Pela fórmula:
- Calcule os combinatórios:
- Numerador:
. Então
- Simplificando: dividir por
dá . Portanto
Passo 8
Resumo numérico rápido (para intuir):
-
(cerca de ). -
(cerca de ).
Força aí — você já tem a receita pronta (hipergeométrica) e os cálculos. Na prova: escreva a fórmula
, informe o intervalo de
e faça as contas como fizemos.
Resposta
Valores possíveis: