Construa os segmentos x e y, dados pelos sistemas:
cx-y=a x y=b^2

Passo 1

O problema pede a construção, com régua e compasso, de dois segmentos
onde são segmentos dados. O conteúdo que vamos usar é a resolução geométrica de uma equação do segundo grau, aproveitando o fato de que as raízes podem ser obtidas como semissoma e semidiferença envolvendo uma raiz quadrada.

Passo 2

Expressamos y em função de x pela primeira equação:
y = x - a
Substituindo na segunda:
x,(x - a) = b^2 Longrightarrow x^2 - a,x - b^2 = 0

Passo 3

Pela fórmula de Bhaskara, as soluções são
x = a pm raiza^2 + 4,b^22
Como x>y (pois x-y=a>0), ficamos com
x = a + raiza^2 + 4,b^22, y = x - a = -a + raiza^2 + 4,b^22

Passo 4

Precisamos, então, construir geometricamente o segmento
h = raiza^2 + 4,b^2
  1. Sobre uma reta, marque AB = a.
  2. No ponto B, erga por compasso uma perpendicular e marque BC = 2b (copiando duas vezes o segmento b para obter 2b).
  3. Una A a C. Pelo Teorema de Pitágoras, AC = h.

Passo 5

Agora construímos
x = a + h2, y = h - a2
  1. Sobre uma reta, marque o segmento DE de comprimento a + h: primeiro copie h a partir de D, chegando a um ponto intermediário F, e depois copie a até E.
  2. Bissecte DE com compasso e régua, encontrando o ponto médio M. Então DM = a+h2 = x.
  3. Para y, construa o segmento DG de comprimento h - a: sobre uma reta copie h de D a um ponto H e a partir de H volte com cópia de a até G. Bissecte DG; o ponto médio N satisfaz DN = h-a2 = y.

Resposta

Os segmentos procurados são
x = a + raiza^2 + 4,b^22, y = -a + raiza^2 + 4,b^22,
construídos conforme os passos acima.

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