Construa os segmentos x e y, dados pelos sistemas:
cx+y=a x^2-y^2=b^2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos, com régua e compasso, construir dois segmentos de comprimentos ,x e ,y tais que
x+y=a, x^2-y^2=b^2
Conteúdo: geometria clássica de proporções e uso de similares para obter produto e quociente de segmentos.

Passo 2

Usamos manipulação algébrica para encontrar a diferença x-y. Como
x^2-y^2=(x-y)(x+y)=b^2
e sabemos x+y=a, segue
x-y=b^2a
Denotemos por c o segmento de comprimento ,c=b^2a. A partir daí
x=(x+y)+(x-y)2=a+c2, y=(x+y)-(x-y)2=a-c2

Passo 3

Construção de c=dfracb^2a por projeção em triângulo retângulo:
  1. Sobre uma linha traçar o segmento AB de comprimento a.
  2. Em A, traçar reta perpendicular a AB e marcar ponto C tal que AC=b.
  3. Unir C a B.
  4. Traçar a perpendicular a AB passando por C, encontrando D em AB.
    Pela propriedade do retângulo:
AD=AC^2AB=b^2a=c

Passo 4

Construção de x=tfraca+c2 e y=tfraca-c2:
  1. Prolongar AB além de B e, com centro em B, copiar o segmento AD para obter o ponto E em que BE=AD=c.
  2. Conectar A a E.
  3. Traçar a mediatriz de AE para localizar seu ponto médio M.
    Então
AM=AE2=a+c2=x,
e como AB=a temos
MB=AB - AM = a - a+c2=a-c2=y

Resposta

Os segmentos procurados são
x = AM e y = MB,
obtidos conforme a construção acima.

Exercícios relacionados