Identifique o subconjunto do plano e faça o seu gráfico. Se for uma hipérbole, então determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as suas assíntotas:
-9 x^{2}+16 y^{2}-90 x+32 y-353=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da curva no plano:
-9x^{2}+16y^{2}-90x+32y-353=0.
O que é pedido:
  • Identificar que subconjunto do plano corresponde a essa equação (que tipo de cônica).
  • Fazer o gráfico (descrever como é o gráfico).
  • Se for uma hipérbole, determinar o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as assíntotas.
Informações relevantes dadas (copiadas do enunciado):
  • Coeficientes da equação: termo de x^{2} é -9, termo de y^{2} é 16, não há termo xy explícito, termos lineares são -90x e 32y, e termo constante é -353.

Passo 2

Decidir que tipo de curva é: usar o discriminante das cônicas.
Explicação curta do conceito (aula rápida): para uma equação geral de segundo grau
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,
o discriminante \Delta é definido por
\Delta = B^{2}-4AC.
  • Se \Delta>0 a cônica é uma hipérbole (quando não degenerada).
  • Se \Delta=0 é uma parábola.
  • Se \Delta<0 é uma elipse (ou círculo).
Aplicando ao nosso caso: aqui A=-9, B=0, C=16. Então
\Delta = 0^{2}-4\cdot(-9)\cdot16 = -4\cdot(-144)=576>0.
Conclusão: a cônica é uma hipérbole. (Isto responde a parte da identificação.)

Passo 3

Preparar a equação para pôr na forma padrão: completar quadrados.
Primeiro, é mais conveniente reorganizar a equação agrupando x e y:
-9x^{2}+16y^{2}-90x+32y-353=0.
Multiplico ambos os lados por -1 para facilitar os sinais:
9x^{2}-16y^{2}+90x-32y+353=0.
Agora agrupo termos em x e em y:
9x^{2}+90x \;-\; \bigl(16y^{2}+32y\bigr) +353=0.
Vou completar o quadrado para x e para y separadamente.
Para x: factor comum 9:
9x^{2}+90x = 9\bigl(x^{2}+10x\bigr).
Completar o quadrado em x^{2}+10x: \;x^{2}+10x=(x+5)^{2}-25.
Então
9\bigl(x^{2}+10x\bigr)=9\bigl((x+5)^{2}-25\bigr)=9(x+5)^{2}-225.
Para y: factor comum 16 (observe o sinal negativo à frente originalmente):
-(16y^{2}+32y) = -16\bigl(y^{2}+2y\bigr).
Completar o quadrado em y^{2}+2y: \;y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1.
Então
-16\bigl(y^{2}+2y\bigr) = -16\bigl((y+1)^{2}-1\bigr) = -16(y+1)^{2}+16.
Substituindo as expressões completadas na equação:
9(x+5)^{2}-225 \;-\;16(y+1)^{2}+16 +353 = 0.
Agrupo as constantes -225+16+353:
-225+16+353 = 144.
Logo
9(x+5)^{2} -16(y+1)^{2} +144 = 0.
Isolo os termos quadráticos:
9(x+5)^{2} -16(y+1)^{2} = -144.
Multiplico por -1 e reordeno para colocar o termo positivo primeiro:
16(y+1)^{2} - 9(x+5)^{2} = 144.
Divido ambos os lados por 144 para obter a forma padrão:
\frac{(y+1)^{2}}{9} \;-\; \frac{(x+5)^{2}}{16} \;=\; 1.

Passo 4

Interpretar a forma padrão e extrair parâmetros.
A forma obtida é
\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}} - \frac{(x-h)^{2}}{b^{2}} = 1,
com h=-5, k=-1, a^{2}=9, b^{2}=16.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • (h,k) é o centro da hipérbole.
  • a é a semi-distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso.
  • b é o parâmetro relacionado ao eixo conjugado; aparece nas equações das assíntotas e na relação com c.
  • Para hipérbole na forma acima (termo y positivo primeiro), o eixo transverso é vertical (a hipérbole “abre” para cima e para baixo).
Valores numéricos:
h=-5,\quad k=-1,\quad a=\sqrt{9}=3,\quad b=\sqrt{16}=4.

Passo 5

Encontrar os vértices.
Para a forma vertical \dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1, os vértices ficam em
(h,\,k\pm a).
Substituindo:
\text{vértices: } ( -5,\; -1+3 ) = (-5,2) \quad\text{e}\quad ( -5,\; -1-3 ) = (-5,-4).é

Passo 6

Calcular os focos.
Para hipérbole vale a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Isto vem da definição geométrica dos focos relativos à forma padrão; é uma fórmula padrão para hipérboles (sem prova longa aqui, mas pode ser lembrada como análoga à elipse, trocando sinal).
Calculando:
c^{2}=9+16=25 \quad\Rightarrow\quad c=5.
Como o eixo transverso é vertical, os focos ficam em
(h,\,k\pm c).
Logo:
\text{focos: } (-5,\; -1+5)=(-5,4) \quad\text{e}\quad (-5,\; -1-5)=(-5,-6).

Passo 7

Eixos de simetria.
As hipérboles têm duas retas de simetria que, neste caso, são:
  • a reta do eixo transverso (a que passa pelo centro e pelos vértices): x=h, ou seja
x=-5;
  • a reta do eixo conjugado (reta horizontal que passa pelo centro): y=k, ou seja
y=-1.
Essas duas retas são eixos de simetria da figura.

Passo 8

Determinar as assíntotas.
Para a forma
\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}} - \frac{(x-h)^{2}}{b^{2}} = 1,
as assíntotas são as retas que aproximam a hipérbole longe do centro:
y-k = \pm \frac{a}{b}\,(x-h).
Aqui a/b = 3/4. Substituindo h=-5, k=-1:
y+1 = \pm \frac{3}{4}(x+5).
Podemos escrever explicitamente as duas assíntotas:
Primeira:
y+1 = \frac{3}{4}(x+5) \quad\Rightarrow\quad y = \frac{3}{4}x + \frac{11}{4}.
Segunda:
y+1 = -\frac{3}{4}(x+5) \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{3}{4}x - \frac{19}{4}.
Breve explicação de por que usar essa fórmula: ao dividir a equação padrão por (x-h)^{2} e deixar x\to\infty ou y\to\infty, os termos constantes e os de ordem inferior tornam-se desprezíveis, restando a relação linear que define as assíntotas; o coeficiente angular resulta de \pm a/b para hipérboles com eixo vertical.

Passo 9

Como fazer o esboço do gráfico (passo a passo prático para a prova):
  1. Marque o centro C=(-5,-1).
  2. Desenhe os eixos de simetria: linha vertical x=-5 e linha horizontal y=-1.
  3. Marque os vértices em (-5,2) e (-5,-4) ao longo da reta x=-5.
  4. Marque os focos em (-5,4) e (-5,-6) (útil para verificar forma).
  5. Desenhe as assíntotas passando por C com inclinações \pm 3/4; desenhe linhas retas y=\tfrac{3}{4}x+\tfrac{11}{4} e y=-\tfrac{3}{4}x-\tfrac{19}{4}.
  6. A hipérbole abre para cima e para baixo (pois o termo y é o positivo na forma padrão). Esboce as duas ramas aproximando-se das assíntotas e passando pelos vértices.
Dica prática: trace o retângulo central de semi-eixos b horizontal e a vertical centrado em C: retângulo com “meio eixo” horizontal de comprimento b=4 e vertical de comprimento a=3. As diagonais desse retângulo são exatamente as assíntotas; isso ajuda a desenhar rapidamente as direções das ramas.

Resposta

Hipérbole centrada em (-5,-1).
Vértices: (-5,2) e (-5,-4).
Focos: (-5,4) e (-5,-6).
Eixos de simetria: x=-5 e y=-1.
Assíntotas: y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{11}{4} e y = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{19}{4}.

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