Identifique o subconjunto do plano e faça o seu gráfico. Se for uma hipérbole, então determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as suas assíntotas:
Passo 1
O enunciado dá a equação da curva no plano:
O que é pedido:
- Identificar que subconjunto do plano corresponde a essa equação (que tipo de cônica).
- Fazer o gráfico (descrever como é o gráfico).
- Se for uma hipérbole, determinar o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e as assíntotas.
Informações relevantes dadas (copiadas do enunciado):
- Coeficientes da equação: termo de
é , termo de é , não há termo explícito, termos lineares são e , e termo constante é .
Passo 2
Decidir que tipo de curva é: usar o discriminante das cônicas.
Explicação curta do conceito (aula rápida): para uma equação geral de segundo grau
o discriminante
é definido por
- Se
a cônica é uma hipérbole (quando não degenerada). - Se
é uma parábola. - Se
é uma elipse (ou círculo).
Aplicando ao nosso caso: aqui
,
,
. Então
Conclusão: a cônica é uma hipérbole. (Isto responde a parte da identificação.)
Passo 3
Preparar a equação para pôr na forma padrão: completar quadrados.
Primeiro, é mais conveniente reorganizar a equação agrupando
e
:
Multiplico ambos os lados por
para facilitar os sinais:
Agora agrupo termos em
e em
:
Vou completar o quadrado para
e para
separadamente.
Para
: factor comum
:
Completar o quadrado em
:
.
Então
Então
Para
: factor comum
(observe o sinal negativo à frente originalmente):
Completar o quadrado em
:
.
Então
Então
Substituindo as expressões completadas na equação:
Agrupo as constantes
:
Logo
Isolo os termos quadráticos:
Multiplico por
e reordeno para colocar o termo positivo primeiro:
Divido ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Passo 4
Interpretar a forma padrão e extrair parâmetros.
A forma obtida é
com
,
,
,
.
Explicação do que cada símbolo significa:
-
é o centro da hipérbole. -
é a semi-distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso. -
é o parâmetro relacionado ao eixo conjugado; aparece nas equações das assíntotas e na relação com . - Para hipérbole na forma acima (termo
positivo primeiro), o eixo transverso é vertical (a hipérbole “abre” para cima e para baixo).
Valores numéricos:
Passo 5
Encontrar os vértices.
Para a forma vertical
, os vértices ficam em
Substituindo:
Passo 6
Calcular os focos.
Para hipérbole vale a relação
Isto vem da definição geométrica dos focos relativos à forma padrão; é uma fórmula padrão para hipérboles (sem prova longa aqui, mas pode ser lembrada como análoga à elipse, trocando sinal).
Calculando:
Como o eixo transverso é vertical, os focos ficam em
Logo:
Passo 7
Eixos de simetria.
As hipérboles têm duas retas de simetria que, neste caso, são:
- a reta do eixo transverso (a que passa pelo centro e pelos vértices):
, ou seja
- a reta do eixo conjugado (reta horizontal que passa pelo centro):
, ou seja
Essas duas retas são eixos de simetria da figura.
Passo 8
Determinar as assíntotas.
Para a forma
as assíntotas são as retas que aproximam a hipérbole longe do centro:
Aqui
. Substituindo
,
:
Podemos escrever explicitamente as duas assíntotas:
Primeira:
Primeira:
Segunda:
Breve explicação de por que usar essa fórmula: ao dividir a equação padrão por
e deixar
ou
, os termos constantes e os de ordem inferior tornam-se desprezíveis, restando a relação linear que define as assíntotas; o coeficiente angular resulta de
para hipérboles com eixo vertical.
Passo 9
Como fazer o esboço do gráfico (passo a passo prático para a prova):
- Marque o centro
. - Desenhe os eixos de simetria: linha vertical
e linha horizontal . - Marque os vértices em
e ao longo da reta . - Marque os focos em
e (útil para verificar forma). - Desenhe as assíntotas passando por
com inclinações ; desenhe linhas retas e . - A hipérbole abre para cima e para baixo (pois o termo
é o positivo na forma padrão). Esboce as duas ramas aproximando-se das assíntotas e passando pelos vértices.
Dica prática: trace o retângulo central de semi-eixos
horizontal e
vertical centrado em
: retângulo com “meio eixo” horizontal de comprimento
e vertical de comprimento
. As diagonais desse retângulo são exatamente as assíntotas; isso ajuda a desenhar rapidamente as direções das ramas.
Resposta
Hipérbole centrada em
.
Vértices: e
.
Focos: e
.
Eixos de simetria: e
.
Assíntotas: e
.
Vértices:
Focos:
Eixos de simetria:
Assíntotas: