Indique, justificando, uma curva cujo traço está contido em
(x, y) in R^2: x>0 wed>=(x^2+y^2)^2=x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede pra indicar uma curva paramétrica cujo traço (imagem) esteja contido no conjunto de pontos (x,y) tais que x>0 e (x^2+y^2)^2 = x^2 - y^2. O conteúdo envolvido é o estudo de curvas definidas implicitamente e sua passagem para coordenadas polares para obter uma parametrização.

Passo 2

Vamos usar coordenadas polares, definindo x = r,costheta, y = r,sintheta Substituindo na equação (x^2+y^2)^2 = x^2 - y^2 obtemos
r^4 = r^2cos(2theta)
como r=0 dá só o ponto origem (que também satisfaz, mas é trivial), podemos dividir por r^2 (assumindo r>0) e temos
r^2 = cos(2theta)

Passo 3

Para que r seja real devemos ter cos(2theta)>=0, e como queremos x>0 (ou seja costheta>0), restringimos theta ao intervalo
-tfracpi4 <= theta <= tfracpi4

Passo 4

Com isso podemos parametrizar a curva em função de t=theta definindo
r(t)=raizcos(2t), tinl[-tfracpi4,tfracpi4r]

Passo 5

Finalmente obtemos uma curva cuja imagem está contida no conjunto dado por:
x(t)=raizcos(2t),cos t, y(t)=raizcos(2t),sin t, tinl[-tfracpi4,tfracpi4r]

Resposta

gamma(t) = (raizcos(2t),cos t,;raizcos(2t),sin t),; tin[-pi/4,pi/4]

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