1. Construa a tabela de locação de uma curva circular horizontal simples, por meio das deflexões sucessivas e sucessivas acumuladas e adotando cordas inteiras de 20 metros e cordas fracionárias necessárias e respectivas para cada estaca da locação da curva, sendo dados:
    Grau da curva =5^{\circ}
    Deflexão no \mathrm{PI}=0,4189 radianos
    A estaca do PC transformada em metros é igual a 940 metros.

Passo 1

O enunciado pede que se construa a tabela de locação (estaqueamento) de uma curva circular simples usando o método das deflexões sucessivas, adotando cordas inteiras de 20 metros e a(s) corda(s) fracionária(s) necessária(s) para completar a curva. Dados relevantes fornecidos:
  • Grau da curva: 5^\circ (ou seja, cada corda inteira de 20 m corresponde a um ângulo central de 5^\circ).
  • Deflexão no \mathrm{PI}: \,0{,}4189\\ \text{rad}.
  • A estaca do \mathrm{PC} (ponto de início da curva) transformada em metros: 940\\ \text{m}.
    O que se deve entregar: tabela com, para cada estaca de locação, a corda adotada (inteira ou fracionária), a deflexão sucessiva (em graus) e a deflexão sucessiva acumulada (em graus). A tabela deve obedecer a adoção de cordas inteiras de 20 m e a(s) corda(s) fracionária(s) necessária(s).

Passo 2

Entender as fórmulas que vamos usar (mini-aula curta e prática).
  • Definição prática usada aqui: o “grau da curva” definido no enunciado é o ângulo central correspondente a uma corda padrão de 20 m. Denotando por \alpha o ângulo central de uma corda de 20 m, temos \alpha = 5^\circ.
  • Relação corda–raio: para uma corda de comprimento c e ângulo central \theta (em radianos),
c = 2R\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right),
onde R é o raio da curva. Dessa relação isolamos o raio:
R=\frac{c}{2\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}.
Explicando: a fórmula vem da geometria do círculo: a corda subtende o ângulo \theta no centro; o triângulo isósceles formado tem lado R e base c, e pela trigonometria a metade da base é R\sin(\theta/2).
  • Comprimento da curva (arco) para ângulo central total \Delta (em radianos):
L = R\Delta.
  • Deflexões sucessivas (método pedido): a deflexão, medida a partir da tangente no \mathrm{PC}, até o ponto final de um arco que subtende ângulo central \theta_{\text{acum}} é metade desse ângulo central:
\text{deflexão acumulada} = \frac{\theta_{\text{acum}}}{2}.ã
Assim, para cordas iguais com ângulo \alpha cada, o incremento (deflexão sucessiva) por corda inteira é \dfrac{\alpha}{2} (em graus).

Passo 3

Calcular o raio R da curva usando a corda padrão c=20\\ \text{m} com \alpha=5^\circ.
  • Converter \alpha para radiano quando necessário: \alpha=5^\circ corresponde a \alpha_{\text{rad}}=5^\circ\cdot\frac{\pi}{180}= \,0{,}087266\ldots\\ \text{rad}. Mas na fórmula usamos \sin(\alpha/2) com \alpha/2=2{,}5^\circ.
  • Aplicando a fórmula:
R=\frac{20}{2\sin\!\left(2{,}5^\circ\right)}=\frac{10}{\sin\!\left(2{,}5^\circ\right)}.
Calculemos numericamente (usar aproximação de seno para ângulos pequenos): \sin(2{,}5^\circ)\approx0{,}043619387. Logo
R\approx\frac{10}{0{,}043619387}\approx229{,}183\\ \text{m}.

Passo 4

Determinar o ângulo central total da curva \Delta e o comprimento do arco L.
  • O enunciado deu a "deflexão no \mathrm{PI}" igual a \,0{,}4189\\ \text{rad}. Isso corresponde ao ângulo central total da curva \Delta (valor em radianos). Vamos adotar \Delta=0{,}4189\\ \text{rad}.
  • Converter \Delta para graus para facilitar a divisão por 5^\circ:
\Delta_{\text{graus}} = 0{,}4189\cdot\frac{180}{\pi}\approx24{,}01^\circ\\ (\text{aprox. }24^\circ).
  • Comprimento do arco:
L=R\Delta\approx229{,}183\cdot0{,}4189\approx96{,}006\\ \text{m}.
Comentário prático: este comprimento corresponde a aproximadamente 96{,}006\\ \text{m}, ou seja, \dfrac{96{,}006}{20}\approx4{,}8003 cordas de 20 m. Logo haverá 4 cordas inteiras de 20 m e uma corda fracionária para completar a curva.

Passo 5

Calcular número de cordas inteiras e comprimento da corda fracionária.
  • Número de cordas inteiras n=\lfloor L/20\rfloor = \lfloor 4{,}8003\rfloor = 4.
  • Comprimento restante (arco fracionário) L_{\text{resto}} = L - 4\cdot20 = 96{,}006 - 80 = 16{,}006\\ \text{m} (este é o comprimento do arco restante; a corda correspondente terá comprimento ligeiramente diferente, vamos calcular a corda fracionária pela fórmula da corda).
  • Ângulo central por corda inteira: \alpha=5^\circ. Ângulo total correspondente às quatro cordas inteiras: 4\alpha=20^\circ.
  • Ângulo restante (em graus): \Delta_{\text{resto}}=\Delta_{\text{graus}}-4\alpha\approx24{,}01^\circ-20^\circ=4{,}01^\circ. Em radianos:
\Delta_{\text{resto,rad}} = 0{,}4189 - 4\cdot(5^\circ\cdot\tfrac{\pi}{180}) = 0{,}4189 - 4\cdot0{,}0872665\approx0{,}4189-0{,}349066=0{,}069834\\ \text{rad},
que em graus é aproximadamente 4{,}00^\circ (pequena diferença de arredondamento nos passos).
  • Cálculo da corda fracionária usando a fórmula da corda com o ângulo restante:
c_{\text{fracionária}}=2R\sin\!\left(\frac{\Delta_{\text{resto,rad}}}{2}\right).á
Substituindo:
c_{\text{fracionária}}\approx2\cdot229{,}183\cdot\sin\!\left(\frac{0{,}069834}{2}\right) =458{,}366\cdot\sin(0{,}034917)\approx458{,}366\cdot0{,}034910\approx16{,}006\\ \text{m}.á
Observe que o comprimento da corda fracionária (obtido por fórmula) coincide praticamente com o comprimento do arco restante devido ao pequeno ângulo (diferença desprezível).

Passo 6

Calcular as deflexões sucessivas (incrementos) e as deflexões sucessivas acumuladas (em graus) para cada corda.
  • Regra: a deflexão sucessiva correspondente a uma corda com ângulo central \theta é \dfrac{\theta}{2} (medida a partir da tangente no \mathrm{PC}). Para cordas inteiras com \alpha=5^\circ,
\text{deflexão por corda inteira}=\frac{5^\circ}{2}=2{,}5^\circ.ã
  • Para a corda fracionária com ângulo \Delta_{\text{resto}}\approx4{,}01^\circ,
\text{deflexão da corda fracionária}\approx\frac{4{,}01^\circ}{2}\approx2{,}005^\circ\approx2{,}0^\circ\\ (\text{arredondando a 1 casa decimal}).ãá
  • Agora acumulamos: deflexão acumulada após cada corda é soma das deflexões sucessivas anteriores.
    Calculando (com uma casa decimal quando conveniente):
    • Após 1ª corda inteira: deflexão sucessiva =2{,}5^\circ, acumulada =2{,}5^\circ.
    • Após 2ª corda inteira: sucessiva =2{,}5^\circ, acumulada =5{,}0^\circ.
    • Após 3ª corda inteira: sucessiva =2{,}5^\circ, acumulada =7{,}5^\circ.
    • Após 4ª corda inteira: sucessiva =2{,}5^\circ, acumulada =10{,}0^\circ.
    • Após corda fracionária: sucessiva \approx2{,}0^\circ, acumulada \approx12{,}0^\circ.
  • Verificação: a deflexão acumulada final deve ser \dfrac{\Delta}{2}. Pela conta:
\frac{\Delta_{\text{graus}}}{2}\approx\frac{24{,}01^\circ}{2}\approx12{,}005^\circ,
que conferma nossos 12{,}0^\circ (arredondamento).

Passo 7

Determinar as estacas (estações) ao longo da curva medindo-se a partir do \mathrm{PC} (adotando que \mathrm{PC}=940{,}000\\ \text{m} como dado).
  • Posicionamento ao longo da curva (distância medida sobre a curva):
    • Estaca 0 (PC): 940{,}000\\ \text{m}.
    • Estaca 1 (após 1ª corda de 20 m): 940{,}000+20=960{,}000\\ \text{m}.
    • Estaca 2: 980{,}000\\ \text{m}.
    • Estaca 3: 1\,000{,}000\\ \text{m}.
    • Estaca 4: 1\,020{,}000\\ \text{m}.
    • Estaca final (PT) após corda fracionária: 1\,020{,}000+16{,}006=1\,036{,}006\\ \text{m} (aprox. 1\,036{,}006\\ \text{m}).
      Observação: escrevo as estações com separador de milhares para clareza, mantendo os números em metros.

Passo 8

Apresentar a tabela final de locação (cada linha = uma estaca com a corda a ela associada — isto é, a corda que parte dessa estaca em direção ao próximo ponto da curva —, a deflexão sucessiva e a deflexão sucessiva acumulada).

Resposta

PC (estaca 940{,}000\\ \text{m}): Corda 20\\ \text{m}; Deflexão sucessiva 2{,}5^\circ; Deflexão sucessiva acumulada 2{,}5^\circ
Estaca 960{,}000\\ \text{m}: Corda 20\\ \text{m}; Deflexão sucessiva 2{,}5^\circ; Deflexão sucessiva acumulada 5{,}0^\circ
Estaca 980{,}000\\ \text{m}: Corda 20\\ \text{m}; Deflexão sucessiva 2{,}5^\circ; Deflexão sucessiva acumulada 7{,}5^\circ
Estaca 1\,000{,}000\\ \text{m}: Corda 20\\ \text{m}; Deflexão sucessiva 2{,}5^\circ; Deflexão sucessiva acumulada 10{,}0^\circ
Estaca 1\,020{,}000\\ \text{m}: Corda 16{,}006\\ \text{m} (corda fracionária); Deflexão sucessiva \approx2{,}0^\circ; Deflexão sucessiva acumulada \approx12{,}0^\circ

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