- Construa a tabela de locação de uma curva circular horizontal simples, por meio das deflexões sucessivas e sucessivas acumuladas e adotando cordas inteiras de 20 metros e cordas fracionárias necessárias e respectivas para cada estaca da locação da curva, sendo dados:
Grau da curva
Deflexão no
radianos
A estaca do PC transformada em metros é igual a 940 metros.
Grau da curva
Deflexão no
A estaca do PC transformada em metros é igual a 940 metros.
Passo 1
O enunciado pede que se construa a tabela de locação (estaqueamento) de uma curva circular simples usando o método das deflexões sucessivas, adotando cordas inteiras de
metros e a(s) corda(s) fracionária(s) necessária(s) para completar a curva. Dados relevantes fornecidos:
- Grau da curva:
(ou seja, cada corda inteira de m corresponde a um ângulo central de ). - Deflexão no
: . - A estaca do
(ponto de início da curva) transformada em metros: .
O que se deve entregar: tabela com, para cada estaca de locação, a corda adotada (inteira ou fracionária), a deflexão sucessiva (em graus) e a deflexão sucessiva acumulada (em graus). A tabela deve obedecer a adoção de cordas inteiras dem e a(s) corda(s) fracionária(s) necessária(s).
Passo 2
Entender as fórmulas que vamos usar (mini-aula curta e prática).
- Definição prática usada aqui: o “grau da curva” definido no enunciado é o ângulo central correspondente a uma corda padrão de
m. Denotando por o ângulo central de uma corda de m, temos . - Relação corda–raio: para uma corda de comprimento
e ângulo central (em radianos),
onde
é o raio da curva. Dessa relação isolamos o raio:
Explicando: a fórmula vem da geometria do círculo: a corda subtende o ângulo
no centro; o triângulo isósceles formado tem lado
e base
, e pela trigonometria a metade da base é
.
- Comprimento da curva (arco) para ângulo central total
(em radianos):
- Deflexões sucessivas (método pedido): a deflexão, medida a partir da tangente no
, até o ponto final de um arco que subtende ângulo central é metade desse ângulo central:
Assim, para cordas iguais com ângulo
cada, o incremento (deflexão sucessiva) por corda inteira é
(em graus).
Passo 3
Calcular o raio
da curva usando a corda padrão
com
.
- Converter
para radiano quando necessário: corresponde a . Mas na fórmula usamos com . - Aplicando a fórmula:
Calculemos numericamente (usar aproximação de seno para ângulos pequenos):
. Logo
Passo 4
Determinar o ângulo central total da curva
e o comprimento do arco
.
- O enunciado deu a "deflexão no
" igual a . Isso corresponde ao ângulo central total da curva (valor em radianos). Vamos adotar . - Converter
para graus para facilitar a divisão por :
- Comprimento do arco:
Comentário prático: este comprimento corresponde a aproximadamente
, ou seja,
cordas de
m. Logo haverá
cordas inteiras de
m e uma corda fracionária para completar a curva.
Passo 5
Calcular número de cordas inteiras e comprimento da corda fracionária.
- Número de cordas inteiras
. - Comprimento restante (arco fracionário)
(este é o comprimento do arco restante; a corda correspondente terá comprimento ligeiramente diferente, vamos calcular a corda fracionária pela fórmula da corda). - Ângulo central por corda inteira:
. Ângulo total correspondente às quatro cordas inteiras: . - Ângulo restante (em graus):
. Em radianos:
que em graus é aproximadamente
(pequena diferença de arredondamento nos passos).
- Cálculo da corda fracionária usando a fórmula da corda com o ângulo restante:
Substituindo:
Observe que o comprimento da corda fracionária (obtido por fórmula) coincide praticamente com o comprimento do arco restante devido ao pequeno ângulo (diferença desprezível).
Passo 6
Calcular as deflexões sucessivas (incrementos) e as deflexões sucessivas acumuladas (em graus) para cada corda.
- Regra: a deflexão sucessiva correspondente a uma corda com ângulo central
é (medida a partir da tangente no ). Para cordas inteiras com ,
- Para a corda fracionária com ângulo
,
- Agora acumulamos: deflexão acumulada após cada corda é soma das deflexões sucessivas anteriores.
Calculando (com uma casa decimal quando conveniente):- Após 1ª corda inteira: deflexão sucessiva
, acumulada . - Após 2ª corda inteira: sucessiva
, acumulada . - Após 3ª corda inteira: sucessiva
, acumulada . - Após 4ª corda inteira: sucessiva
, acumulada . - Após corda fracionária: sucessiva
, acumulada .
- Após 1ª corda inteira: deflexão sucessiva
- Verificação: a deflexão acumulada final deve ser
. Pela conta:
que conferma nossos
(arredondamento).
Passo 7
Determinar as estacas (estações) ao longo da curva medindo-se a partir do
(adotando que
como dado).
- Posicionamento ao longo da curva (distância medida sobre a curva):
- Estaca 0 (PC):
. - Estaca 1 (após 1ª corda de
m): . - Estaca 2:
. - Estaca 3:
. - Estaca 4:
. - Estaca final (PT) após corda fracionária:
(aprox. ).
Observação: escrevo as estações com separador de milhares para clareza, mantendo os números em metros.
- Estaca 0 (PC):
Passo 8
Apresentar a tabela final de locação (cada linha = uma estaca com a corda a ela associada — isto é, a corda que parte dessa estaca em direção ao próximo ponto da curva —, a deflexão sucessiva e a deflexão sucessiva acumulada).
Resposta
PC (estaca
): Corda
; Deflexão sucessiva
; Deflexão sucessiva acumulada
Estaca : Corda
; Deflexão sucessiva
; Deflexão sucessiva acumulada
Estaca : Corda
; Deflexão sucessiva
; Deflexão sucessiva acumulada
Estaca : Corda
; Deflexão sucessiva
; Deflexão sucessiva acumulada
Estaca : Corda
(corda fracionária); Deflexão sucessiva
; Deflexão sucessiva acumulada
Estaca
Estaca
Estaca
Estaca